Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$\sum a(b+c-a)^2 \le 6\sqrt{3}R^2(2R-r)$

hình học 1.

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 15-08-2012 - 11:56

Bài toán: Ký hiệu $a,b,c,R,r$ lần lượt là độ dài các cạnh,bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.Chứng minh:
$$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2 \le 6\sqrt{3}R^2(2R-r)$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Pisa Italy
  • Sở thích:Football, chess

Đã gửi 04-07-2014 - 03:00

Bài toán: Ký hiệu $a,b,c,R,r$ lần lượt là độ dài các cạnh,bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.Chứng minh:
$$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2 \le 6\sqrt{3}R^2(2R-r)$$

Gọi tam giác đã cho là $ABC$ với độ dài các cạnh là $a=BC, b=CA, c=AB$.Trước tiên chúng ta chứng minh đẳng thức sau đây: 

$$a(b+c-a)^2 + b(a+c-b)^2+c(a+b-c)^2 = 16R^2(2R-r)\sin A\sin B\sin C.$$

Mình nghĩ là có nhiều cách để chứng minh đẳng thức này. Sau đây mình trình bày (sơ lược) một cách chứng minh "hình học". Gọi $M,N,P$ là  các tiếp điểm của $BC, CA, AB$ với đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ (respectively). Khi đó $AP=AN=\frac{b+c-a}{2}$ và 

$$S(APN)= \frac{a(b+c-a)^2}{16R}.$$

Làm tương tự cho 2 tam giác con còn lại rồi cộng lại ta được

$$16 R\left[ S(ABC)-S(MNP)\right] = a(b+c-a)^2 + b(a+c-b)^2+c(a+b-c)^2.$$

Các góc của tam giác $MNP$ lần lượt bằng $\frac{B+C}{2},\frac{A+C}{2}, \frac{A+B}{2}$. Đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác này chính là $r$. Ta cũng có những điều sau đây:

$$S(ABC)= 2R^2 \sin A \sin B \sin C, \ \  S(MNP)= 2r^2 \sin \frac{B+C}{2} \sin  \frac{B+C}{2} \sin  \frac{A+B}{2}.$$

Chú ý thêm là $r= 4R\sin \frac{A}{2} \sin  \frac{B}{2} \sin  \frac{C}{2}$. Từ đó ta suy ra đẳng thức cần chứng minh.

 

Cuối cùng thì ta chỉ cần áp dụng BDT quen thuộc cho $\sin A \sin B \sin C$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 04-07-2014 - 03:04





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh