Chủ đề này có 4 trả lời

[altair5927]

Bài 1: Cho dãy số $(v_{n})$ xác định bởi $v_{1}=\sqrt{2015}$ và $v_{n+1}=v_{n}^{2}-2$ với mọi n không nhỏ hơn 1. CMR $lim \frac{v_{n+1}^{2}}{v_{1}^{2}v_{2}^{2}...v_{n}^{2}}=2011$
Bài 2: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{4n+1}{2^{n}}$. Thành lập dãy số $(s_{n})$ với $s_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$. Tìm lim $s_{n}$.
Tạm 2 bài đã. Mọi người hướng dẫn mình hướng suy luận luôn nhé. Mấy bài tính lim tổng mình nghĩ thường tính $s_{n+1}-s_{n}$ rồi tách thành những phần tử có thể triệt tiêu khi cộng vế, còn bài này khó tách quá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-08-2012 - 12:14

[namcpnh]

Bài 1: Cho dãy số $(v_{n})$ xác định bởi $v_{1}=\sqrt{2015}$ và $v_{n+1}=v_{n}^{2}-2$ với mọi n không nhỏ hơn 1. CMR $lim \frac{v_{n+1}^{2}}{v_{1}^{2}v_{2}^{2}...v_{n}^{2}}=2011$

Bài này thì việc suy luân khá là dễ.Ta nhận thấy $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=(a+\frac{1}{a})^{2}-2$ vì thế ta đặt :
$v_{1}=\sqrt{2015}=a+\frac{1}{a}$

Từ đây suy ra $v_{2}=(a+\frac{1}{a})^{2}-2=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$

Bằng quy nạp ta có $v_{n}=a^{n}+\frac{1}{a^{n}}$

Khi đó $\frac{v_{n+1}^{2}}{v_{1}^{2}v_{2}^{2}...v_{n}^{2}}=\frac{(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}})^{2}}{((a+\frac{1}{a})(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})..(a^{n}+\frac{1}{a^{n}}))^{2}}=\frac{(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}})^{2}(a-\frac{1}{a})^{2}}{(a^{n+1}-\frac{1}{a^{n+1}})^{2}}$

Mà $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}}{a^{n+1}-\frac{1}{a^{n+1}}}=1$

Nên $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{v_{n+1}^{2}}{v_{1}^{2}v_{2}^{2}...v_{n}^{2}}=\lim_{n\rightarrow +\infty }(a-\frac{1}{a})^{2}=(a+\frac{1}{a})^{2}-4=2015-4=2011$ =>đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namheo1996: 15-08-2012 - 12:39

[altair5927]

Bài này thì việc suy luân khá là dễ.Ta nhận thấy $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=(a+\frac{1}{a})^{2}-2$ vì thế ta đặt :
$v_{1}=\sqrt{2015}=a+\frac{1}{a}$

Từ đây suy ra $v_{2}=(a+\frac{1}{a})^{2}-2=a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$

Bằng quy nạp ta có $v_{n}=a^{n}+\frac{1}{a^{n}}$

Hình như bạn nhầm chỗ này, thử lại với $v_{3}$ xem
Dù sao cũng cảm ơn bạn về hướng xuất phát

[altair5927]

Dựa trên ý tưởng ban đầu của bạn namheo1996 mình xin giải bài 1 như sau (các bạn xem mình xử lí như vậy ổn chưa nhé)
Đặt $v_{1}=a+\frac{1}{a}$ ta có $v_{n}=a^{2^{n-1}}+\frac{1}{a^{2^{n-1}}}$ (quy nạp)
nên $\frac{v_{n+1}}{v_{1}v_{2}...v_{n}}=\frac{a^{2^{n}}+\frac{1}{a^{2^{n}}}}{(a+\frac{1}{a})(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})...(a^{2^{n-1}}+\frac{1}{a^{2^{n-1}}})}=\frac{(a-\frac{1}{a})(a^{2^{n}}+\frac{1}{a^{2^{n}}})}{(a-\frac{1}{a})(a+\frac{1}{a})(a^{2}+\frac{1}{a^{2}})...(a^{2^{n-1}}+\frac{1}{a^{2^{n-1}}})}=\frac{(a-\frac{1}{a})(a^{2^{n}}+\frac{1}{a^{2^{n}}})}{a^{2^{n}}-\frac{1}{a^{2^{n}}}}$
lại có $lim(\frac{a^{2^{n}}+\frac{1}{a^{2^{n}}}}{a^{2^{n}}-\frac{1}{a^{2^{n}}}})^{2}=1$ và $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}-2=u_{2}-2=2011$ nên có ĐPCM
Còn bài 2 xuất phát từ đâu nhỉ?

[robin997]

Bài 1: Cho dãy số $(v_{n})$ xác định bởi $v_{1}=\sqrt{2015}$ và $v_{n+1}=v_{n}^{2}-2$ với mọi n không nhỏ hơn 1. CMR $lim \frac{v_{n+1}^{2}}{v_{1}^{2}v_{2}^{2}...v_{n}^{2}}=2011$
Bài 2: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{4n+1}{2^{n}}$. Thành lập dãy số $(s_{n})$ với $s_{n}=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$. Tìm lim $s_{n}$.
Tạm 2 bài đã. Mọi người hướng dẫn mình hướng suy luận luôn nhé. Mấy bài tính lim tổng mình nghĩ thường tính $s_{n+1}-s_{n}$ rồi tách thành những phần tử có thể triệt tiêu khi cộng vế, còn bài này khó tách quá

Bài 2 thế này nhá bạn ^^,
-Ta sẽ tìm thẳng công thức của $s_n$ (bởi bài chẳng cho dữ liệu nào đặc biệt cả :")
-Bắt đầu bằng lập công thức truy hồi hen:
$s_n=s_{n-1}+(4n+1)2^{-n}$
-Lấy $s_n=2^{-n}p_n\\\Rightarrow p_n=2p_{n-1}+4n+1$
-Đến đây tính $p_n$ rồi thế lại tính $s_n$ hen.
$\left(s_n=9+(4n+9)2^{-n}=9+\frac{4n+9}{2^n} \right)$
Nên:
$\lim_{n\rightarrow +\infty}s_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}(9+\frac{4n+9}{2^n})=9+\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{4n+9}{2^n}=9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 16-08-2012 - 15:12