Đến nội dung

Hình ảnh

tìm giá trị max của:$Q=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}-\frac{1}{4abc}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
Cho các số thực dương $a;b;c$ tm $a+b+c=1$.tìm giá trị max của:$Q=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}-\frac{1}{4abc}$

Hình đã gửi


#2
ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết

Cho các số thực dương $a;b;c$ tm $a+b+c=1$.tìm giá trị max của:$Q=\frac{ab}{c+ab}+\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}-\frac{1}{4abc}$

-Áp dụng bdt Am-Gm ta có:
$\sum \frac{ab}{c+ab}=\sum \frac{ab}{c(a+b+c)+ab}=\sum \frac{ab}{(c+a)(b+c)}\leq \sum \frac{ab}{4c\sqrt{ab}}=\sum \frac{\sqrt{ab}}{4c}\leq \sum \frac{a+b}{8c}=\sum \frac{1-c}{8c}=\frac{1}{8}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )-\frac{3}{8}=\frac{ab+bc+ca}{8abc}-\frac{3}{8}\leq \frac{(a+b+c)^2}{24abc}-\frac{3}{8}=\frac{1}{24abc}-\frac{3}{8}$
$\Rightarrow Q\leq \frac{1}{12abc}-\frac{1}{4abc}-\frac{3}{8}=\frac{-5}{24abc}-\frac{3}{8}\leq \frac{-5.27}{24.(a+b+c)^3}-\frac{3}{8}=-6$
-Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 16-08-2012 - 12:51

Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh