Chủ đề này có 26 trả lời

[nhathuyenqt]

ĐỀ: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}=25ab+71a-27b+28,,,(1)) & \\ 24b^{2}+73b=25ab+25a-133,,,(2)& \end{matrix}\right.$

-------------------------------------

Bài giải

Hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} 23a^{2}+b^{2}-71a+27b=25ab+28,,,, (3) & \\ 24b^{2}+73b-25a+161=25ab+28,,,(4) & \end{matrix}\right.$
Trừ (3) cho (4) vế theo vế, ta có
$23a^{2}-23b^{2}-46a-46b-161=0$
$\Leftrightarrow a^{2}-b^{2}-2a-2b-7=0$
$\Leftrightarrow (a -1)^{2}-(b+1)^{2}-7=0,,,(5)$

Từ (2) ta có

$24b^{2}+73b-25ab-25a+133=0$
$\Leftrightarrow (24b^{2}+48b+24)-(25ab+25a-25b-25)+84=0$
$\Leftrightarrow 24(b+1)^{2}-25(b+1)(a-1)+84=0 $ (6)

Từ (5) và (6) ta có hệ đã cho tương đương với

$\left\{\begin{matrix} (a -1)^{2}-(b+1)^{2}-7=0 & \\ 24(b+1)^{2}-25(b+1)(a-1)+84=0 & \end{matrix}\right.$

Đặt

$\left\{\begin{matrix} x=a-1 & \\ y=b+1 & \end{matrix}\right.$

Ta có

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}-7=0 & \\ 24y^{2}-25xy+84=0 ,,,,(*) & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{2}x^{2}-y^{4}-7y^2=0& \\ (24y^{2}+84)^{2}=(25xy)^{2} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 625x^{2}y^{2}-625y^{4}-4375y^2=0 & \\ 576y^{4}+7056+4032y^{2}=625x^{2}y^{2} & \end{matrix}\right.$

Trừ (7) cho (8), ta có
$49y^{4}+343y^{2}-7056=0$
Giải phương trình ta được
$y^{2}=9$ và $y^{2}=-16$ (loại)
$\Rightarrow y=\pm 3$
Xét y=3 thay vào (*) ta được $216-75x+84=0\Rightarrow x=4$
Với $\left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5 & \\ b=2 & \end{matrix}\right.$

Xét y=-3 thay vào (*) ta được $216+75x+84=0\Rightarrow x=-4$
Với $\left\{\begin{matrix} x=-4 & \\ y=-3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-3 & \\ b=-4 & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ có 2 nghiệm là (5,2) và (-3,-4)

[bibitsubomi 9fxshiftsolve]

Đề: Giải hệ pt

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & & \\ \frac{156x}{x^2+1} =\frac{65y}{y^2+1}=\frac{60z}{z^2+1}& & \end{matrix}\right.$

G:

vì $x+y+z=xyz$ nên đặt $x=cot\frac{A}{2}, y=cot\frac{B}{2}, z=cot\frac{C}{2}$

(với A, B, C là độ lớn các góc A, B, C trong tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c (a, b, c>0))

ta có $\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}=\frac{1}{\frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}+\frac{sin\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}}=sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}=\frac{sinA}{2}$

tương tự $\frac{y}{y^2+1}=\frac{sinB}{2}$ và $\frac{z}{z^2+1}=\frac{sinC}{2}$

do đó $156sinA=65sinB=60sinC \Leftrightarrow \frac{sinA}{5}=\frac{sinB}{12}=\frac{sinC}{13}$

mà $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$

nên $\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}$

$\Rightarrow a^2+b^2=c^2$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông ở C

$\Rightarrow z=cot\frac{C}{2}=1$

do đó $\frac{165x}{x^2+1}=\frac{65y}{y^2+1}=30$

$\frac{165x}{x^2+1}=30 \Leftrightarrow 5x^2-26x+5=0\Leftrightarrow (x-5)(5x-1)=0$

* $x=5 \Rightarrow 5+y+1=5y\Rightarrow y=\frac{3}{2}$

* $x=\frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{5}+y+1=\frac{1}{5}y\Rightarrow y=\frac{-3}{2}$

thử lại thấy $y=\frac{3}{2}$ t/m $\frac{65y}{y^2+1}=30$

vậy hệ đã cho có no duy nhất $(x, y, z)=(5;\frac{3}{2};1)$

[donghaidhtt]

Đề bài:
Giải hệ pt:
$\left\{\begin{matrix} x(x^2+y^2+z^2)=xyz+8\\ y(x^2+y^2+z^2)=2xyz-2\\ z(x^2+y^2+Z^2)=3xyz+18 \end{matrix}\right.$
Đáp án:
Đặt $x^2+y^2+z^2=a; xyz=b$
Bình phương 2 vế của từng pt trong hệ rồi cộng lại có:
$a^3=(b+8)^2+(2b-2)^2+(3b+18)^2\Leftrightarrow a^3=14b^2+116b+392(1)$
Nhân 3 pt của đề vế theo vế có:
$a^3b=(b+8)(2b-2)(3b+18)(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ có: $b(14b^2+116b+392)=(b+8)(2b-2)(3b+18)\Leftrightarrow 8b^3+38b^2+188b+288=0\Leftrightarrow b=-2$
Thay vào $(1)$ được $a^3=216$ suy ra $a=6$
Thay vào hệ ban đầu của đề bài giải được x=1, y=-1, z=2

[triethuynhmath]

Đáp án đề của Triethuynhmath:
Xét bài toán với a,b,c,n là các số hữu tỉ sao cho $\sqrt[3]{n}$ là số vô tỉ ta luôn có:
$a\sqrt[3]{n^2}+b\sqrt[3]{n}+c=0\Rightarrow a=b=c=0$
Chứng minh:
Từ giả thiết $\Rightarrow an+b\sqrt[3]{n^2}+c\sqrt[3]{n}=0\Rightarrow a^2n+ab\sqrt[3]{n^2}+ac\sqrt[3]{n}=0,a\sqrt[3]{n^2}+b\sqrt[3]{n}+c=0\Rightarrow ab\sqrt[3]{n^2}+b^2\sqrt[3]{n}+bc=0\Rightarrow \sqrt[3]{n}(b^2-ac)=a^2n-bc$
Nếu :$b^2\neq ac\Rightarrow \sqrt[3]{n}=\frac{a^2n-bc}{b^2-ac}$
Vế trái vô tỉ,VP hữu tỉ => Vô lí.
Vậy $\left\{\begin{matrix} b^2=ac \\ a^2n=bc \end{matrix}\right.\Rightarrow b^3=abc=a^3n\Rightarrow b=a\sqrt[3]{n}$
Nếu $a \neq 0$ ta có: $\sqrt[3]{n}=\frac{b}{a}$Vế trái vô tỉ vế phải hữu tỉ => Vô lí.
Vậy $a=b=0\Rightarrow c=0$
Áp dụng bổ đề vào bài toán có: $a=b=c=0$ thử lại vào hệ thấy thỏa.
Kết luận hệ có nghiệm $a=b=c=0$ $Q.E.D$

[pokydevil1996]

giải phương trình: 2$\sqrt{x+3}$ = 9x² - x - 4

[namcpnh]

Giải hệ bất phương trình trên tập $\mathbb{R}^{+}$ :

$\left\{\begin{matrix} x^3+y^5 \leq x^2+y^2(1)\\ y-\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2} (2)\end{matrix}\right.$

Bài giải ( khá đơn giản, hy vọng có nhiều người giải ra):

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $2x^3+1=x^3+x^3+1\geq 2x^2$, $2y^5+3=y^5+y^5+1+1+1\geq 5y^2$

Do đó $x^3+y^5\geq \frac{3x^2-1}{2}+\frac{5y^2-3}{2}$

Kết hợp với (1) ta được $x^2+y^2\geq \frac{3x^2-1}{2}+\frac{5y^2-3}{2}$

<=>$x^2+3y^2\leq 4$

<=>$x^2+y^2\leq 4-2y^2\leq 4-2(2y-1)-2(y-1)^2\leq 6-4y$

<=>$\frac{1}{x^2+y^2}\geq \frac{1}{6-4y}$

Từ đây suy ra $y-\frac{1}{x^2+y^2}-\frac{1}{2}\leq y-\frac{1}{6-4y}-\frac{1}{2}=-\frac{2(y-1)^2}{3-2y}\leq 0$

=>$VT\leq VP$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

Thử lại thỏa.

Vậy hệ có nghiệm (1;1).

[cool hunter]

ĐỀ:
Giải bpt: $4x^{3}+x -(x+1)\sqrt{2x+1}\leq 0$
Giải:
ĐK: $x\geq \frac{-1}{2}$
$bpt \Leftrightarrow 8x^{3}+2x\leq 2(x+1)\sqrt{2x+1}$
Vì hàm $f(x)=x^{3}+x$ đồng biến nên $bpt \Leftrightarrow 2x\leq \sqrt{2x+} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+1\geq 0\\ x<0 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4x^{2}<2x+1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-1}{2}\\ x<0 \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 4x^{2}-2x-1\leq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \frac{-1}{2}\leq x<0 \vee \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \frac{1-\sqrt{5}}{4}\leq x\leq \frac{1+\sqrt{5}}{4} \Leftrightarrow \frac{-1}{2}\leq x\leq \frac{1+\sqrt{5}}{4} \end{matrix}\right.$