Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

Tìm a,b để $\Delta$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt $A,B,C$ thỏa điều kiện cho trước


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 longqnh

longqnh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Công Nghệ Thông Tin - ĐHQG TPHCM

Đã gửi 19-08-2012 - 00:12

Cho đồ thị $\left(C\right): y= 2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1$ và đường thẳng $(\Delta): y=ax+b$.
Tìm $a,b$ để $(\Delta)$ cắt $\left(C\right)$ tại 3 điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$. Khi đó, chứng minh rằng $(\Delta)$ đi qua 1 điểm cố định.


SẼ KHÔNG BAO GIỜ BẾ TẮC NẾU TA CÒN CỐ GẮNG


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-04-2014 - 20:10

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng     @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng     @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 11/04 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng     @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 11-04-2014 - 07:53

Cho đồ thị $\left(C\right): y= 2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1$ và đường thẳng $(\Delta): y=ax+b$.
Tìm $a,b$ để $(\Delta)$ cắt $\left(C\right)$ tại 3 điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$. Khi đó, chứng minh rằng $(\Delta)$ đi qua 1 điểm cố định.

Sửa lại đề cho rõ hơn : " ...Khi đó, chứng minh rằng với mỗi giá trị của $m$ cho trước, có vô số đường thẳng $(\Delta)$ thỏa mãn ĐK đề bài và chúng đều đi qua 1 điểm cố định "

 

GIẢI :

$(C):y=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1$ là đồ thị hàm số bậc ba nên có tâm đối xứng $I$.

$y'=6x^2-6(2m+1)x+6m(m+1)$

$y"=12x-6(2m+1)$

Hoành độ tâm đối xứng $I$ của $(C)$ chính là nghiệm phương trình : $y"=12x-6(2m+1)=0$

$\Rightarrow x_{I}=m+\frac{1}{2}$.Thay vào hàm số bậc ba, rút gọn ta được $y_{I}=2m^3+3m^2+\frac{1}{2}$

$(\Delta)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$ $\Rightarrow I\left ( m+\frac{1}{2};2m^3+3m^2+\frac{1}{2} \right )\in (\Delta )$ (1)

và $I\equiv B$ (vì $I$ là tâm đối xứng của $(C)$)

Gọi $k$ là hệ số góc của $(\Delta)$, từ (1) suy ra 

$(\Delta ):y=k\left ( x-m-\frac{1}{2} \right )+2m^3+3m^2+\frac{1}{2}=kx+2m^3+3m^2-km-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$

Phương trình hoành độ giao điểm :

$2x^3-(6m+3)x^2+(6m^2+6m)x+1=kx-km-\frac{k}{2}+2m^3+3m^2+\frac{1}{2}$

Chuyển vế, biến đổi, cuối cùng được $\left ( x-m-\frac{1}{2} \right )\left [ 2x^2-(4m+2)x+2m^2+2m-k-1 \right ]=0$ (2)

Để (2) có $3$ nghiệm phân biệt thì phải có :

$(-2m-1)^2-2(2m^2+2m-k-1)> 0$ hay $k> -\frac{3}{2}$

 

Vậy nếu $(\Delta)$ có phương trình $y=ax+b$ thì :

$a=k> -\frac{3}{2}$

$b=2m^3+3m^2-km-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$

(Với mỗi giá trị $m$ cho trước có vô số đường thẳng $(\Delta)$ thỏa mãn ĐK đề bài)

 

Rõ ràng khi đó $x=m+\frac{1}{2}$ là một nghiệm của (2) $\Rightarrow (\Delta )$ luôn cắt $(C)$ tại $I\left ( m+\frac{1}{2};2m^3+3m^2+\frac{1}{2} \right )$

Hay nói cách khác, với mỗi giá trị $m$ cho trước có vô số đường thẳng $(\Delta)$ thỏa mãn ĐK đề bài và chúng luôn đi qua điểm cố định $I\left ( m+\frac{1}{2};2m^3+3m^2+\frac{1}{2} \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 11-04-2014 - 16:01

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 duc_jerry

duc_jerry

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2014 - 08:44

Bạn ơi cho mình hỏi tại sao $I \in \Delta$ thế bạn? Sao nó không cắt ở một điểm khác tâm đối xứng mà vẫn thoả mãn $AB = BC$? :D
Mình cảm ơn :D



#5 hancongnhu9x

hancongnhu9x

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:thich xem phim

Đã gửi 30-05-2014 - 21:54

$\sqrt{}$



#6 quyennct1250daknong

quyennct1250daknong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 05-01-2015 - 21:21

Bài giải hay! I thuộc đường thẳng vì I là tâm đối xưngs mà A , C đối xứng qua B nên I trùng B




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh