Chứng minh $\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}\ge \frac{3}{2}$
#1
Đã gửi 19-08-2012 - 12:44
- L Lawliet, no matter what và lth080998 thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#3
Đã gửi 19-08-2012 - 13:15
,mình xin hỏi lại đề là $\sum \frac{a^2}{b^2+1}$ hay $\sum \frac{a}{b^2+1}$???
----Spoiler
Đề như trên của mình đúng rồi bài này là đề thi HSG TPHCM 2007ngược dấu rồi
- no matter what yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#4
Đã gửi 19-08-2012 - 13:16
ta có $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+1}=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}b^{2}+a^{2}}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{\sum a^{2}+\sum a^{2}b^{2}}$Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh $$\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}\ge \frac{3}{2}$$
$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum a^{2}$
ta có theo Am-gM $\sum a^{4}\geq \sum a^{2}b^{2}$, suy ra $2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq \sum a^{2}+2\sum a^{2}b^{2}=\left ( \sum a^{2} \right )^{2}\geq 3\left ( \sum a^{2} \right )$
ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 19-08-2012 - 13:29
- Poseidont yêu thích
#5
Đã gửi 19-08-2012 - 13:28
Đề nghị bạn làm rõ ra nhé,nên giải hoàn chỉnh cho các bạn khác theo dõi.Thân.ta có $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+1}=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}b^{2}+a^{2}}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{\sum a^{2}+\sum a^{2}b^{2}}$
$\Leftrightarrow 2\sum a^{4}+\sum a^{2}b^{2}\geq 3\sum a^{2}$
đến đây thì bạn tự làm tiếp
- Ispectorgadget và no matter what thích
#6
Đã gửi 19-08-2012 - 13:30
mình sửa lại rồi,Đề nghị bạn làm rõ ra nhé,nên giải hoàn chỉnh cho các bạn khác theo dõi.Thân.
#7
Đã gửi 30-03-2021 - 21:49
$\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{c^2+1}+\frac{c^2}{a^2+1}-\frac{3}{2}=\sum_{cyc}^{cyc}(a-b)^2(\frac{89}{1053}ab^3+\frac{1666}{351}ac+\frac{2177}{3159}a^2b^2+\frac{64}{351}a^2c^2+\frac{1147}{3159}a^3b+\frac{179}{1053}a^3c+\frac{23}{3159}b^3c+\frac{53} {243}abc^2+\frac{50}{243}b^4)\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh