Chủ đề này có 3 trả lời

[vo van duc]

Cho tam thức bậc 2 $p(x)=x^{2}+ax+b$ thỏa mãn $p(x)\geq 0,\forall x\in R$ và A là ma trận vuông thực cấp n.
Chứng minh rằng: $det(p(A))\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-08-2013 - 13:02

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

$p(X)=(X-a/2)^2+m,m>0$.

Do đó ta chỉ cần cm $\det (A^2+I) \ge 0$. Thật vậy,

$$\det (A^2+I) = \det (A-iI) \det (A+iI) = \det (A-iI) \overline{\det (A-iI)} = \left \| \det (A-iI) \right \|^2 \ge 0$$

 

Bài 8 http://diendantoanho...n-về-định-thức/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChangBietDatTenSaoChoDoc: 15-03-2014 - 08:35

[studentized]

Ta thấy rằng $\forall x\in\mathbb R:p(x)\ge0\iff\Delta=a^2-4b\le0\iff b-\frac{a^2}4\ge0$. Vậy ta có:

\begin{align*}
\det(p(A))&=\det(A^2+aA+bI_n)\\
&=\det\left(\left(A+\frac a2I_n\right)^2-\frac{a^2}4I_n+bI_n\right)\\
&=\det\left(\left(A+\frac a2I_n\right)^2-i^2\left(b-\frac{a^2}4\right)I_n\right)\\
&=\det\left(\left(A+\frac a2I_n\right)^2-\left(i\sqrt{b-\frac{a^2}4}I_n\right)^2\right)\\
&=\det\left(\left(A+\frac a2I_n-i\sqrt{b-\frac{a^2}4}I_n\right)\left(A+\frac a2I_n+i\sqrt{b-\frac{a^2}4}I_n\right)\right)\\
&=\det\left(A+\frac a2I_n-i\sqrt{b-\frac{a^2}4}I_n\right)\overline{\det\left(A+\frac a2I_n-i\sqrt{b-\frac{a^2}4}I_n\right)}\\
&=\left|\det\left(A+\frac a2I_n-i\sqrt{b-\frac{a^2}4}I_n\right)\right|^2\ge0
\end{align*}

[studentized]

Vì $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, $A$ có $n$ giá trị riêng $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n\in\mathbb C$ không nhất thiết phân biệt, với đa thức đặc trưng $p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\dotsm(\lambda-\lambda_n)$ với hệ số thực. Ta có đa thức đặc trưng của $p(A)$:
\begin{align*}
p_{p(A)}(\lambda)=\det(\lambda I_n-p(A))&=\det(\lambda I_n-(A^2+aA+bI_n))\\
&=(-1)^n\det(A^2+aA+(b-\lambda)I_n)\\
&=(-1)^n\det\left(A-\left(-\frac a2+\sqrt{\lambda+\frac{a^2}4-b}\right)I_n\right)\det\left(A-\left(-\frac a2-\sqrt{\lambda+\frac{a^2}4-b}\right)I_n\right)\\
&=(-1)^n\det\left(\left(-\frac a2+\sqrt{\lambda+\frac{a^2}4-b}\right)I_n-A\right)\det\left(\left(-\frac a2-\sqrt{\lambda+\frac{a^2}4-b}\right)I_n-A\right)\\
&=(-1)^n\cdot p_A\left(-\frac a2+\sqrt{\lambda+\frac{a^2}4-b}\right)\cdot p_A\left(-\frac a2-\sqrt{\lambda+\frac{a^2}4-b}\right)\\
\end{align*}Đặt $r_1(\lambda)=\sqrt{\lambda+\frac{a^2}4-b}-\frac a2$ và $r_2(\lambda)=\sqrt{\lambda+\frac{a^2}4-b}+\frac a2$ thì ta có $r_1(\lambda)r_2(\lambda)=\lambda-b$ và $r_1(\lambda)-r_2(\lambda)=-a$
\begin{align*}
\implies p_{p(A)}(\lambda)&=(-1)^n\cdot p_A(r_1(\lambda))\cdot p_A(-r_2(\lambda))\\
&=(-1)^n\cdot(r_1(\lambda)-\lambda_1)(r_1(\lambda)-\lambda_2)\dotsm(r_1(\lambda)-\lambda_n)\cdot(-r_2(\lambda)-\lambda_1)(-r_2(\lambda)-\lambda_2)\dotsm(-r_2(\lambda)-\lambda_n)\\
&=(r_1(\lambda)-\lambda_1)(r_1(\lambda)-\lambda_2)\dotsm(r_1(\lambda)-\lambda_n)\cdot(r_2(\lambda)+\lambda_1)(r_2(\lambda)+\lambda_2)\dotsm(r_2(\lambda)+\lambda_n)\\
&=(\lambda-b-a\lambda_1-\lambda_1^2)(\lambda-b-a\lambda_2-\lambda_2^2)\dotsm(\lambda-b-a\lambda_n-\lambda_n^2)\\
&=(\lambda-p(\lambda_1))(\lambda-p(\lambda_2))\dotsm(\lambda-p(\lambda_n))
\end{align*}Từ đó $\det(p(A))=(-1)^np_{p(A)}(0)=p(\lambda_1)p(\lambda_2)\dotsm p(\lambda_n)\in\mathbb R$ (đa thức đặc trưng $p_{p(A)}(\lambda)$ cũng chứa hệ số thực).

Nếu $\lambda\in\mathbb R$ là giá trị riêng thực của $A$ thì $p(\lambda)\ge0$.
Nếu $\lambda\in\mathbb C\setminus\mathbb R$ là giá trị riêng phức không thực của $A$ với bội số $k$, thì $\overline\lambda$ cũng phải là giá trị riêng của $A$ với bội số $k$. Đây là do tính chất đặc biệt của đa thức đặc trưng $p_A(\lambda)$ của $A$ với hệ số thực: có thể phân tích được thành những nhị thức và tam thức một biến với hệ số thực (trong đó những nhị thức có 1 nghiệm thực và những tam thức không có nghiệm thực mà có 2 nghiệm phức phân biệt liên hợp với nhau). Từ đó $p(\lambda)p(\overline\lambda)=p(\lambda)\overline{p(\lambda)}=|p(\lambda)|^2\ge0$.

Ta phân hoạch $L=\{1;2;\dots;n\}$ thành 2 tập hợp $S=\{i\in L:\lambda_i\in\mathbb R\}$ và $T=\{i\in L:\lambda_i\in\mathbb C\setminus\mathbb R\}$. Ta thấy rằng $|T|$ là số chẵn vì nó chỉ chứa những cặp đôi giá trị riêng phức không thực liên hợp với nhau, và từ đó $\prod_{i\in T}p(\lambda_i)\ge0$. Ta cũng dễ dàng thấy $\prod_{i\in S}p(\lambda_i)\ge0$.
Vậy $\det(p(A))=\prod_{i=1}^np(\lambda_i)=\prod_{i\in L}p(\lambda_i)=\prod_{i\in S}p(\lambda_i)\prod_{i\in T}p(\lambda_i)\ge0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi studentized: 04-11-2024 - 05:37