Chủ đề này có 2 trả lời

[online]

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x+1}{x-1}(C)$
a) Gọi đường thẳng d có pt: $2x-y+m=0$ ($m$ là tham số thực). CMR: d luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B trên 2 nhánh của (C).
b) Xác định m để đoạn thẳng AB ngắn nhất.

[Crystal]

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x+1}{x-1}©$
a) Gọi đường thẳng d có pt: $2x-y+m=0$ ($m$ là tham số thực). CMR: d luôn cắt © tại 2 điểm phân biệt A, B trên 2 nhánh của ©.
b) Xác định m để đoạn thẳng AB ngắn nhất.

GIẢI.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}$

a) Viết lại phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng: $d:y = 2x + m$.

$ \bullet \,\,\,$ Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ với $d$ là:
\[\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m \Leftrightarrow x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {2x + m} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0\]
Ta có: $\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} + 8\left( {m + 1} \right) = {m^2} + 2m + 17 > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}$

$ \bullet \,\,\,$ Do đó phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt, hay $d$ luôn cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$.

b) Viết lại $y = f\left( x \right) = 1 + \frac{2}{{x - 1}}$.

$ \bullet \,\,\,$ Giả sử $\left\{ {A\left( {{x_A};1 + \frac{2}{{{x_A} - 1}}} \right),\,\,B\left( {{x_B};1 + \frac{2}{{{x_B} - 1}}} \right)} \right\} = d \cap \left( C \right)$

Theo Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_A} + {x_B} = \frac{{3 - m}}{2}\\
{x_A}{x_B} = \frac{{ - m - 1}}{2}
\end{array} \right.$

Khi đó: \[A{B^2} = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + 4{\left( {\frac{1}{{{x_B} - 1}} - \frac{1}{{{x_A} - 1}}} \right)^2}\]
\[ = {\left( {{x_B} + {x_A}} \right)^2} - 4{x_A}{x_B} + 4{\left( {\frac{{{x_A} - {x_B}}}{{{x_A}{x_B} - \left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 1}}} \right)^2}\]
\[ = \left[ {{{\left( {{x_B} + {x_A}} \right)}^2} - 4{x_A}{x_B}} \right]\left\{ {1 + \frac{4}{{{{\left[ {{x_A}{x_B} - \left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 1} \right]}^2}}}} \right\}\]
\[ = \left[ {\frac{{{{\left( {3 - m} \right)}^2}}}{4} + 2\left( {m + 1} \right)} \right]\left[ {1 + \frac{4}{{{{\left( {\frac{{ - m - 1}}{2} - \frac{{3 - m}}{2}} \right)}^2}}}} \right] = ... = \frac{1}{2}\left( {{m^2} + 2m + 17} \right)\]
\[ = \frac{1}{2}{\left( {m + 1} \right)^2} + 8 \ge 8\]
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow m = - 1$.

$ \bullet \,\,\,$ Vậy $\min AB = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow m = - 1$.

[nucnt772]

GIẢI.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}$

a) Viết lại phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng: $d:y = 2x + m$.

$ \bullet \,\,\,$ Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ với $d$ là:
\[\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m \Leftrightarrow x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {2x + m} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0\]
Ta có: $\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} + 8\left( {m + 1} \right) = {m^2} + 2m + 17 > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}$

$ \bullet \,\,\,$ Do đó phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt, hay $d$ luôn cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$.

Câu a) anh thiếu mất cái ý 2 điểm phân biệt nằm trên 2 nhánh của đồ thị.
Do phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{A},x_{B}$
Giả sử: $x_{A}< x_{B}$:
$x_{A,B}=\frac{-m+3\underset{-}{+}\sqrt{m^{2}+2m+17}}{4}> \frac{-m+3\underset{-}{+}|m+1|}{4}$

_ Nếu $m+1\geq 0$ $\Rightarrow x_{B}> \frac{-m+3+m+1}{4}=1,x_{A}< 1$

_ Nếu $m+1< 0\Rightarrow x_{B}< \frac{-m+3-(-m-1)}{4}=1,x_{A}< 0$

Vậy $d$ luôn luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B nằm trên 2 nhánh của (C).