Chủ đề này có 7 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán: Giải và biện luận phương trình: $x^3+ax^2+bx+c=0$.
----

Spoiler

Nãy giờ diễn đàn yên ắng quá nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 25-08-2012 - 21:57

[Trần Đức Anh @@]

Bài này chắc là xét delta, nếu <0 thì lượng giác, nếu lớn hơn 0 thì Cardano

[diepviennhi]

bài này có trong cuốn nâng cao và phát triển toán 9
giải và biện luận bằng cách đặt ẩn phụ

[L Lawliet]

bài này có trong cuốn nâng cao và phát triển toán 9
giải và biện luận bằng cách đặt ẩn phụ

Bạn trình bày rõ ra cho mọi người xem được không? Có một số bạn không có cuốn NCPT mà

[Crystal]

Bài toán: Giải và biện luận phương trình: $x^3+ax^2+bx+c=0$.
----

Spoiler

Nãy giờ diễn đàn yên ắng quá nhỉ

Với bài toán này, nếu dùng đến kiến thức của THPT (chương trình lớp 12) thì có thể dễ dàng giải quyết bằng cách dựa vào các hình dạng có thể có (4 dạng) của đồ thị hàm số bậc ba $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ (trường hợp $a \ne 0$).

Công việc: Xét vị trí tương đối của đồ thị với trục hoành trong từng trường hợp.

[C a c t u s]

Bài toán: Giải và biện luận phương trình: $x^3+ax^2+bx+c=0$. (1)
----

Spoiler

Nãy giờ diễn đàn yên ắng quá nhỉ

Spoiler

Đây là bài trong phần đọc thêm của NCPT

-----------------
Bằng cách đặt $x=y-\frac{a}{3}$, phương trình sẽ có dạng $y^3+mx+n=0$
Để giải phương trình:
$$y^3+mx+n=0(2)$$
ta biểu thị ẩn $y$ thành tổng của hai ẩn $u$ và $v$, tức là $y=u+v$. Như thế, $v$ có thể chọn giá trị tùy ý. Thay vào (2), ta có:
$$(u+v)^3+m(u+v)+n=0 \Leftrightarrow (u^3+v^3+n)+(u+v)(3uv+m)=0$$
Chọn $v$ sao cho $3uv+m=0$, bài toán sẽ quy về hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}u^3+v^3=-n\\uv=\frac{-m}{3} \end{matrix}\right.$$
Hay $$\left\{\begin{matrix}u^3+v^3=-n\\u^3v^3=\frac{-m^3}{27} \end{matrix}\right.$$
Như vậy, $u^3$ và $v^3$ là nghiệm của phương trình bậc hai:
$$t^2+nt-\frac{m^3}{27}=0(3)$$
Giải phương trình (3), nếu (3) có nghiệm thì ta được:
$$u^3=\frac{-n}{2}+\sqrt{D},v^3=\frac{-n}{2}-\sqrt{D}(4)$$
trong đó $D=(\frac{n}{2})^2+(\frac{m}{3})^3$
Do đó công thức nghiệm của phương trình (2) là:
$$y=\sqrt[3]{\frac{-n}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{\frac{-n}{2}-\sqrt{D}}$$ (5)
-----------------

@ Lời giải trên là giải phương trình. Thiếu phần biện luận mất rồi

Spoiler

Cái phần sau em đọc mà chẳng hiểu nên không viết vào, giờ bổ sung vậy.

------------------
Ta công nhận có số $i$ mà $i^2=-1$, khi đó $\sqrt{D}$ luôn tồn tại, chẳng hạn với $D=-4$ thì $\sqrt{D}=\sqrt{-4}=\sqrt{4i^2}=2i$. Do đó với $D=-4$ và $n=6$ thì nghiệm của phương trình (2) là $y=\sqrt[3]{-3+2i}+\sqrt[3]{-3-2i}$. Các số $-3+2i$ và $-3-2i$ là các số phức.
Vì căn bậc ba của một số phức có ba giá trị nên công thức (5) cho ba giá trị của $u$ cũng như $v$, các giá trị đó được lựa chọn để thỏa mãn điều kiện $uv=\frac{-m}{3}$. Người ta tìm được ba nghiệm của phương trình (2) là:
$$y_1=u_1+v_1$$
$$y_2=\frac{-1}{2}(u_1+v_1)+i\frac{\sqrt{3}}{2}(u_1-v_1)$$
$$y_3=\frac{-1}{2}(u_1+v_1)-i\frac{\sqrt{3}}{2}(u_1-v_1)$$
với $u_1$ là một giá trị của $u$ và $v_1$ là giá trị tương ứng của $v$ thỏa mãn (4) và điều kiện $uv=\frac{-m}{3}$.
Nếu $D>0$, trong các nghiệm của phương trình (2) có một nghiệm thực. Nếu $D=0$ trong các nghiệm của phương trình (2) có hai nghiệm thực, trong đó có một nghiệm kép. Nếu $D<0$, phải tính căn bậc hai của một số âm, được một số phức. Do đó để tìm $u_1$ phải biết khai căn bậc ba của một số phức. Điều lí thú trong trường hợp $D<0$ là phương trình có ba nghiệm thực.
------------------

Spoiler

Xong .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi C a c t u s: 26-08-2012 - 18:28

[Crystal]

@ Lời giải trên là giải phương trình. Thiếu phần biện luận mất rồi

[toanc2tb]

@ Lời giải trên là giải phương trình. Thiếu phần biện luận mất rồi

 

Em nghĩ giải và biện luận theo lượng giác vậy, mọi người có thể tham khảo ở đây