Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Tìm $x \in \mathbb{R}$ sao cho $\frac{1}{3} \le \frac{{\tan 3x}}{{\tan x}} \le 3$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài toán. Tìm $x \in \mathbb{R}$ sao cho $\frac{1}{3} \le \frac{{\tan 3x}}{{\tan x}} \le 3$

Giải

Điều kiện:
$\left\{\begin{array}{l}\cos{3x} \neq 0\\\cos{x} \neq 0\\sin{x} \neq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\\x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\\x \neq k\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \neq \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}\\x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\\x \neq k\pi\end{array}\right. \,\, (k \in Z)$
Ta có:
$\tan{3x} = \dfrac{\sin{3x}}{\cos{3x}} = \dfrac{3\sin{x} - 4\sin^3{x}}{4\cos^3{x} - 3\cos{x}}$

$= \dfrac{3\tan{x}(1 + \tan^2{x}) - 4\tan^3{x}}{4 - 3(1 + \tan^2{x})} = \dfrac{3\tan{x} - \tan^3{x}}{1 - 3\tan^2{x}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\tan{3x}}{\tan{x}} = \dfrac{3 - \tan^2{x}}{1 - 3\tan^2{x}}$

Do đó, ta cần giải BPT: $\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{3 - t^2}{1 - 3t^2} \leq 3 \, (t = \tan{x})$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{3 - t^2}{1 - 3t^2} - \dfrac{1}{3} \geq 0\\\dfrac{3 - t^2}{1 - 3t^2} - 3 \leq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{8}{3(1 - 3t^2)} \geq 0\\\dfrac{8t^2}{1 - 3t^2 } \leq 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}1 - 3t^2 > 0\\t = 0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{-1}{\sqrt{3}} < x < \dfrac{1}{\sqrt{3}}\\\tan{x} = 0\end{array}\right.$

Hệ nói trên không thỏa mãn điều kiện $\tan{x} \neq 0$.
Vậy, bất phương trình ban đầu vô nghiệm.