Chủ đề này có 15 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu.

Điều 3. Phương thức thi đấu, cách tính điểm:
a. Phương thức thi đấu:
- Trước mỗi trận, các toán thủ nộp đề cho BTC, BTC chọn 1 đề thi đấu. Đề thi được chọn là của toán thủ nào thì toán thủ đó gọi là toán thủ ra đề.Toán thủ ra đề không phải làm bài. (BTC đảm bảo nguyên tắc mỗi toán thủ chỉ được chọn đề nhiều nhất 1 lần). Toán thủ đã được chọn đề 1 lần thì những trận sau đó không cần phải nộp đề nữa.
- Trong trường hợp đến hết ngày thứ Tư hàng tuần mà không có toán thủ nào nộp đề, BTC sẽ chỉ định toán thủ có SBD nhỏ nhất (chưa có đề được chọn) phải ra đề.
...

b. Cách tính điểm
...

+ Nếu ra đề sai, đề không đúng chủ đề định sẵn, đề vượt quá cấp học hoặc không giải được đề mình ra, toán thủ ra đề được −30 điểm.
+ Nếu đến lượt mà không ra đề được −20 điểm.
+ Ra đề mà không post đáp án đúng thời gian được −10 điểm
...

Điều 6. Quy định đề bài:
a. Nội dung:
- Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu không copy nguyên văn từ đề thi Olympic quốc gia trở lên.
b. Hình thức:
- Đề bài được gõ Latex rõ ràng.

BTC yêu cầu các toán thủ nộp đề về Phương trình lượng giác. Đề cần nộp cùng đáp án

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

[diepviennhi]

giải phương trình: $\sqrt{3}cos^{2}x+2sinx.cosx-\sqrt{3}sin^{2}x-1=0$ (1)
Cách giải: phương trình đã cho tương đương với
$\sqrt{3}\frac{1+cos2x}{2}+sin2x-\sqrt{3}\frac{1-cos2x}{2}-1=0\Leftrightarrow \sqrt{3}cos2x+sin2x=1\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sin\begin{pmatrix} \frac{\pi }{3}+2x \end{pmatrix}=sin\frac{\pi }{6}$
Trường hợp 1:$\frac{\pi }{3}+2x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{-\pi }{12}+k\pi$
Trường hợp 2: $\frac{\pi }{3}+2x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$
Vậy phương trình có hai nghiệm $S=\begin{Bmatrix} \frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{-\pi }{12}+k\pi \end{Bmatrix}$

[luuxuan9x]

Đề bài

Giải phương trình :$3sin^{2}x+\frac{1}{2}sin2x+2cos^{2}x=\frac{3(sin^{4}x+cos^{4}x-1)}{sin^{6}x+cos^{6}x-1}$

Bài giải:

Điều kiện:$sin^{6}x+cos^{6}x-1\neq 0<=>x\neq \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} (*)$.

Ta có :$sin^{4}x+cos^{4}x-1=-2sin^{2}x.cos^{2}x$ và $sin^{6}x+cos^{6}x-1=-3sin^{2}x.cos^{2}x$

Khi đó phương trình đã cho thành:$3sin^{2}x+\frac{1}{2}sin2x+2cos^{2}x=2$

<=>$sin^{2}x+sinx.cosx=0$

<=>$sinx(sinx+cosx)=0$

<=>$sinx+cosx=0$ (vì theo (*) thì $sinx\neq 0$)

<=>$x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

[NGOCTIEN_A1_DQH]

MHS 09 - NGOCTIEN_A1_DQH xin nộp đề:

Đề bài:

tìm nghiệm thuộc đoạn $ [0,\frac{\pi}{6}] $ của phương trình sau:

$ sinx+sin^33x+2sin^22x+sin^3x+sin3x=\frac{33}{8} $

Lời giải:

xét hàm số $ f(x)=sinx+sin^33x+2sin^22x+sin^3x+sin3x $ trên đoạn $ [0,\frac{\pi}{6}] $ ta có:

$$ f'(x)=cosx+9cos3x.sin^23x+8cos2xsin2x+3cosxsin^2x+3cos3x $$

vì $ x \in [0,\frac{\pi}{6}] $ nên: $\left\{\begin{matrix} cosx \geq 0\\ cos3x \geq0 \\ cos2x \geq 0 \\ sin2x \geq 0 \end{matrix}\right.$

do các dấu bằng ở các đẳng thức trên không thể xảy ra đồng thời nên từ đây suy ra $ f'(x) >0 \forall x \in [0,\frac{\pi}{6}] $

hàm số $ f(x) $ luôn đồng biết trên $ [0,\frac{\pi}{6}] $

$ \Rightarrow f(x) \leq f(\frac{\pi}{6})=\frac{33}{8} $

kết hợp với đề bài ta có $ x=\frac{\pi}{6} $

vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $ x=\frac{\pi}{6} $

[longqnh]

Đề thi đề nghị MHS trận 2: Nguyễn Thành Long – longqnh – MHS13

Giải phương trình:
$\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2$

Bài giải:
$\begin{array}{l}
\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2 \\
<=> \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \frac{1}{2}\left( {\cos 3x + \cos x} \right)\cos 3x + 2 \\
<=> \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \frac{1}{2}{\cos ^2}3x + \frac{1}{2}\cos x\cos 3x + 2 \\
<=> \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \frac{1}{2}\left( {1 - {{\sin }^2}3x} \right) + \frac{1}{4}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) + 2 \\
<=> \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \frac{1}{4}\left( {1 + \cos 6x} \right) + \frac{1}{4}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) + 2 \\
<=> \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 3 \\
<=> 4{\cos ^3}2x + 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x - 4 = 0 \\
<=> \cos 2x = 1 <=> x = k\pi \left ( k \in \mathbb{Z} \right ) \\
\end{array}$

[minh29995]

Đề bài:
Giải phương trình:
$\frac{3}{2}sin2x-cos2x-9cos^2x+2sinx+17cosx-3=0$

Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
$3sinxcosx+sin^2x-10cos^2x+2sinx+17cosx-3=0$
$\Leftrightarrow sin^2x+(3cosx+2)sinx-10cos^2x+17cosx-3=0$
$\Delta = 49cos^2x-56cosx+16=(7x-4)^2$
Do đó:
$sinx=-5cosx+1$
hoặc $sinx=2cosx-3$ (Phương trình này vô nghiệm)
Tương đương:
$sinx+5cosx=1$
$\Leftrightarrow sin(x+\alpha )=\frac{1}{\sqrt{26}}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\beta - \alpha +k.2\pi\\ x=\pi -\beta -\alpha +k.2\pi \end{bmatrix}$
($k\in Z)
Với: $\left\{\begin{matrix} sin\alpha =\frac{5}{\sqrt{26}}\\ cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{26}} \end{matrix}\right.$
và:
$sin\beta =\frac{1}{\sqrt{26}}$

[minh29995]

Đề bài:
Giải phương trình:
$\frac{3}{2}sin2x-cos2x-9cos^2x+2sinx+17cosx-3=0$

Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
$3sinxcosx+sin^2x-10cos^2x+2sinx+17cosx-3=0$
$\Leftrightarrow sin^2x+(3cosx+2)sinx-10cos^2x+17cosx-3=0$
$\Delta = 49cos^2x-56cosx+16=(7x-4)^2$
Do đó:
$sinx=-5cosx+1$
hoặc $sinx=2cosx-3$ (Phương trình này vô nghiệm)
Tương đương:
$sinx+5cosx=1$
$\Leftrightarrow sin(x+\alpha )=\frac{1}{\sqrt{26}}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\beta - \alpha +k.2\pi\\ x=\pi -\beta -\alpha +k.2\pi \end{bmatrix}$
($k\in Z$)
Với: $\left\{\begin{matrix} sin\alpha =\frac{5}{\sqrt{26}}\\ cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{26}} \end{matrix}\right.$
và:

$sin\beta =\frac{1}{\sqrt{26}}$
Mới fix LATEX nộp lại.. Xin lỗi BQT

[sogenlun]

Em xin gửi đề .
Giải phương trình :
$$ 8\cos 2x - 9\sin 2x -37\sin x +9\cos x-9=0$$
Lời giải :
Phương trình tương đương với :
$$ 16\cos^2 x - 18\sin x . \cos x-37\sin x +9\cos x -17 =0$$
$$ \Leftrightarrow 9\cos^2 -18\sin x . \cos x-37\sin x +9\cos x - 7\sin^2 -10 =0$$
$$ \Leftrightarrow (3\cos x +\sin x+5)(3\cos x -7\sin x-2)=0$$
Đến đây xảy ra 2 trường hợp :
$\,\ \bullet 3\cos x +\sin x+5=0 $ Dễ thấy $1+3^2 < 5^2$ nên trường hợp này vô nghiệm
$\,\ \bullet 3\cos x -7\sin x-2=0 \Leftrightarrow \dfrac{3}{\sqrt{58}}\cos x- \dfrac{7}{\sqrt{58}} = \dfrac{2}{\sqrt{58}}$
$$\Leftrightarrow x = - \alpha \pm \beta + 2k\pi $$
với $\alpha , \beta \in \left [ 0,\,\dfrac{\pi}{2} \right ]$ thỏa $\begin{cases} \cos \alpha = \dfrac{3}{\sqrt{58}} \\ \cos \beta = \dfrac{2}{\sqrt{58}} \end{cases}$

[Gioi han]

Đề bài : Giải phương trình:
$(1+\sqrt{3})sin(2x + \frac{\pi}{4})=2\sqrt{2}[cos(x-\frac{\pi}{3})-sin^{2}x]$
Lời giải:
$(1+\sqrt{3})sin(2x + \frac{\pi}{4})=2\sqrt{2}[cos(x-\frac{\pi}{3})-sin^{2}x]$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x +(1+\sqrt{3})cos2x=4cos(x-\frac{\pi}{3}-2(1-cos2x)$
$\Leftrightarrow (sin2x+\sqrt{3}coss2x)- (cos2x-\sqrt{3}cos2x)=4cos(x-\frac{\pi}{3})-2$
$\Leftrightarrow sin(2x+\frac{\pi}{3})-cos(2x+\frac{\pi}{3})=2cos(x-\frac{\pi}{3})-1$
Đặt $ t=x- \frac{\pi}{3}$ ta có phương trình:
$sin(2t+\pi) –cos(2t-\pi)=2cost-1$
$\Leftrightarrow cos2t - sin2t = 2cost - 1$
$\Leftrightarrow cos^{2}t-cost sint -cost=0$
$\Leftrightarrow cost( sint - cost+1)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} cost=0\\ sin(x-\frac{\pi}{4}=-1 \end{array}\right. \,\,$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ t=\frac{-\pi}{4}+k2\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array}\right. \,\,$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi}{6}+k\pi \\ \frac{\pi}{12}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\right. \,\,$

[rovklee]

Giải phương trình:$\sin ^{12}+\cos ^{9}=1$
Giải:
Vì $\sin ^{12} x\leq \sin ^{2}x,\cos ^{9}x\leq \cos ^{2}x$
suy ra $\sin ^{12}x+\cos ^{9x}\leq 1$
Ta có hệ :$\left\{\begin{matrix} \sin ^{12}x=\sin ^{2}x & & \\ \cos ^{9}x=\cos ^{2}x& & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \Rightarrow x=k\frac{\pi }{2}$

[BoFaKe]

Tìm các nghiệm trên $(0,2\pi )$ của phương trình sau :
$\frac{\sin 3x-\sin x}{\sqrt{1-\cos 2x}}= \sin 2x+\cos 2x (*)$
Giải:
Ta có:
$(*)\Leftrightarrow \frac{2\cos 2x.\sin x}{\sqrt{2}\left | \sin x \right |}= \sqrt{2}\cos (2x-\frac{\pi }{4})$
Điều kiện là $\sin x\neq 0\Leftrightarrow x\neq k\pi$
Khi $x\in \left ( 0,\pi \right )$ thì $\sin x>0$ nên
$(*)\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos 2x= \sqrt{2}\cos (2x-\frac{\pi }{4})$
$\Leftrightarrow 4x= \frac{\pi }{4}+k2\pi$
$\Leftrightarrow x= \frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$

VÌ $x\in \left ( 0,\pi \right )$ nên $x= \frac{\pi }{16}$ và $x= \frac{9\pi }{16}$
Khi $x\in \left ( \pi,2\pi \right )$ thì $\sin < 0$
Nên
$(*)\Leftrightarrow -\cos 2x= \cos (2x-\frac{\pi }{4})$
$\Leftrightarrow \cos (\pi -2x)= \cos (2x-\frac{\pi }{4})$
$\Leftrightarrow 4x= \frac{5\pi }{4}+k2\pi$
$\Leftrightarrow x= \frac{5\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$
Do $x\in (\pi ,2\pi )$ nên $x= \frac{21\pi }{16}$ và $x= \frac{29\pi }{16} $
Vậy phương trình có 4 nghiệm là $x\in \left \{ \frac{\pi }{16};\frac{9\pi }{16};\frac{21\pi }{16};\frac{29\pi }{16} \right \}$

[E. Galois]

Do chưa có toán thủ nào nộp đề nên BTC yêu cầu toán thủ MHS08 hoangtrong2305 phải ra đề

[Gioi han]

Giải phương trình:
$cosx -3\sqrt{3}sinx=cos7x$
Giải:
$cosx -3\sqrt{3}sinx=cos7x$
$\Leftrightarrow 2sin3xsin4x -3\sqrt{3}sinx=0$
$\Leftrightarrow sinx[2sin4x(1+cos2x)-3\sqrt{3}]=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array} sinx=0\\\ 2sin4x(1+cos2x)-3\sqrt{3}]=0 \, \end{array}\right.$
$sinx=0 \Leftrightarrow x= k \pi (k \in \mathbb{Z})$
$2sin4x(1+cos2x)-3\sqrt{3}=0(1)$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số $sin^{2}x,\frac{cos^{2}2x}{2},\frac{cos^{2}2x}{2}$ ta có:
$1=sin^{2}x+\frac{cos^{2}2x}{2}+\frac{cos^{2}2x}{2} \leq 3 \sqrt[3]{\frac{sin^{2}2x.cos^{4}2x}{4}}$
$\Rightarrow sin2xcos^{2}2x \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 4sin2x cos^{2}2x +sin4x \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}+1<\frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow (1)$ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=k\pi$

[hoangtrong2305]

Đề bài 1: Giả sử $2$ phương trình

$$\cos 2x+a\cos x+2=0\, \, \, (1)$$

$$\cos 2x+b\cos x+2=0\, \, \, (2)$$

mỗi phương trình đều có 4 nghiệm phân biệt thuộc $(0;2\pi)$, hỏi phương trình sau đây có tối đa bao nhiêu nghiệm? Tìm tất cả các nghiệm đấy.

$$\cos 2x+(a+b)\cos x+5=0\, \, \, (3)$$

Bài giải:

$(1)\Leftrightarrow 2\cos^{2}x+a\cos x+1=0$

$(2)\Leftrightarrow 2\cos^{2}x+b\cos x+1=0$

Đặt $t=\cos x$ thì các phương trình $(1)$ và $(2)$ thành:

$f(t)=2t^{2}+at+1=0\, \, \, (4)$

$g(t)=2t^{2}+at+1=0\, \, \, (5)$

Do các phương trình $(1);(2)$, mỗi phương trình đều có $4$ nghiệm phân biệt thuộc $(0;2\pi)$

$\Rightarrow$ Phương trình $(4)$ có $2$ nghiệm $t_{1};t_{2}$ thoả $-1<t_{1}<t_{2}<1$ và phương trình $(5)$ có $2$ nghiệm $t_{3};t_{4}$ thoả $-1<t_{3}<t_{4}<1$

Vậy ta có:

$\left\{\begin{matrix} f(1)>0\\ f(-1)>0\\ g(1)>0\\ g(-1)>0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+3>0\\ 3-a>0\\ b+3>0\\ 3-b>0 \end{matrix}\right.$

Từ $(3)$, ta có $\left\{\begin{matrix} F(t)=2t^{2}+(a+b)t+4=0\, \, \, (6)\\ t=\cos x \end{matrix}\right.$

Xét phương trình $(6)$:

Nếu $\Delta <0$ thì $(6)$ vô nghiệm $\Rightarrow (3)$ vô nghiệm.

Nếu $\Delta \geq 0$, gọi $t_{5};t_{6}$ là các nghiệm của $(6)$, ta có:

$F(1)=(a+3)+(b+3)>0$

$F(-1)=(3-a)+(3-b)>0$

Như vậy xảy ra các khả năng: $\left\{\begin{matrix}
t_{5}\leq t_{6}<-1\, \, \, (\alpha )\\
1<t_{5}\leq t_{6}\, \, \, (\beta )\\
-1<t_{5}\leq t_{6}<1\, \, \, (\gamma )
\end{matrix}\right.$

Nếu xảy ra khả năng $(\alpha )$ hoặc $(\beta )$ thì $(3)$ vô nghiệm do $-1\leq t\leq 1$ (với $t=\cos x$)

Xét trường hợp $(\gamma )$

Theo $Viete$, ta có: $t_{5}t_{6}=2$

Vậy $t_{5}t_{6}$ hoặc cùng dương hoặc cùng âm

Giả sử $\left\{\begin{matrix}
-1<t_{5}<0\\
-1<t_{6}<0
\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 0<t_{5}t_{6}<1$ (loại do $t_{5}t_{6}=2$)

Tương tự với trường hợp $t_{5};t_{6}$ cùng dương la cũng loại

Vậy trường hợp $(\gamma )$ không xảy ra

Vậy trong mọi trường hợp đều dẫn đến phương trình $(3)$ vô nghiệm.

[hoangtrong2305]

Bài toán 2: Định $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm ấy:

$\left\{\begin{matrix} ax^{2}+a-1=y-|\sin x|\\ \tan ^{2}x+y^{2}=1 \end{matrix}\right.$

Bài giải:

* Điều kiện cần:

- Giả sử $(x_{o};y_{o})$ là nghiệm của hệ thì dễ thấy $(-x_{o};y_{o})$ cũng là nghiệm của hệ, do đó để hệ có nghiệm duy nhất, ta phải có $x_{o}=0$.

- Thay $(0;y_{o})$ vào hệ, ta được:

$\left\{\begin{matrix} a-1=y_{o}\\ y_{o}^{2}=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (a-1)^{2}=1$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=0\\ a=2 \end{bmatrix}$


* Điều kiện đủ:

- Với $a=0$, hệ thành:

$\left\{\begin{matrix} y=-1\\ \tan^{2}x=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=-1\\ x=k \pi \end{matrix}\right. ;k \in \mathbb{Z}$

Trong trường hợp này hệ có vô số nghiệm, vậy $a=0$ không thỏa.

- Với $a=2$, hệ thành:

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+1=y-|\sin x|\\ \tan^{2}x+y^{2}=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{2}+|\sin x|+1=y\, \, \, (1)\\ \tan^{2}x+y^{2}=1\, \, \, (2) \end{matrix}\right.$

Từ $(1)$, ta thấy $y\geq 1$ và $y=1$ thì $x=0$

Nếu $y>1$ thì $x=0$ và hiển nhiên cặp $(0;1)$ là nghiệm của hệ và cũng là nghiệm duy nhất.

Tóm lại với $a=2$ thì hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm ấy là $(0;1)$

[Primary]

Đề: Tìm a để phương trình sau có nghiệm
$\sqrt{1+2\cos x}+\sqrt{1+2\sin x}=a$
Lời giải:
TXĐ: $-\frac{\pi }{6}+k2\pi \leq x\leq \frac{2\pi }{3}+k2\pi$ (*)
Xét hàm $=\sqrt{1+2\cos x}+\sqrt{1+2\sin x}$
Do y là hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ và dương nên ta xét hàm số $f=y^2=2+2(\sin x+\cos x)+2\sqrt{1+2(\sin x+\cos x)+4\sin x\cos x}$
Đặt $t=\sin x+\cos x$, $\left ( \frac{\sqrt{3}-1}{2}\leq t\leq \sqrt{2} \right )$ (Do (*) )
$\Rightarrow f=2+2t+2\sqrt{2t^2+2t-1}$
Vì hoành độ đỉnh patabol $\varphi (t)=2t^2+2t-1$ là $\frac{-1}{2}<\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ nên hàm $f$ đồng biến trên $\left [ \frac{\sqrt{3}-1}{2};\sqrt{2} \right ]$
$\Rightarrow \min f=1+\sqrt{3}$; $\max f=4(1+\sqrt{2})$
Do $\min y=y\left ( \frac{-\pi}{6} \right )=\sqrt{1+\sqrt{3}}$; $\max y=y\left ( \frac{\pi }{4} \right )=2\sqrt{1+\sqrt{2}}$
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\sqrt{1+\sqrt{3}}\leq a\leq 2\sqrt{1+\sqrt{2}}$