Chủ đề này có 1 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán: Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} f(0)=2\\ f(x+f(x+2y))=f(2x)+f(2y), \forall x, y \in \mathbb{Z}\end{matrix}\right.$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 30-08-2012 - 12:36

[pcoVietnam02]

Gọi $P(x,y)$ là phép thế của phương trình hàm $f(x+f(x+2y))=f(2x)+f(2y)$

 

Nếu $f(2x)=2x+2$, với vài giá trị $x\in\mathbb Z$ thì :

$P(0,x)$ $\implies$ $f(2x+2)=2x+4$

Suy ra vì $f(0)=2$,ta có $f(2x)=2x+2$ $\forall x\in\mathbb Z_{\ge 0}$

 

Với $x\in\mathbb Z_{\ge 0}$ : $P(2x,-x)$ $\implies$ $f(-2x)=-2x+2$

 

Suy ra $f(2x)=2x+2$ $\forall x\in\mathbb Z$

 

 $f(1)=2p$ chẵn, suy ra $P(-2p+1,p)$ $\implies$ $2p=3$, mâu thuẫn.

Suy ra $f(1)$ lẻ và $P(1,0)$ $\implies$ $f(1+f(1))=6$

Vì $1+f(1)$ chẵn, nên $1+f(1)+2=6$ $\Rightarrow$ $f(1)=3$

 

Lấy một só lẻ $2x+1$ 

Nếu $f(2x+1)=2p$ chẵn, thì $P(1-2p,x+p)$ $\implies$ $f(1)=2(1-2p)+2+2(x+p)+2$ (vô lí), vì $VT$ lẻ và $VP$ chẵn.

Suy ra $f(2x+1)$ lẻ , $2x+1+f(2x+1)$ chẵn và $P(2x+1,0)$ $\implies$ $2x+1+f(2x+1)+2=2(2x+1)+2+2$

Do đó $f(2x+1)=2x+3$

 

Vì vậy $\boxed{f(x)=x+2\quad\forall x\in\mathbb Z}$, thử lại thấy thỏa mãn.