11 replies to this topic

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 31/08/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 2 có 41 toán thủ tham gia nên sau trận này, 08 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm

[E. Galois]

Cho tam giác $ABC$ và 1 điểm $P$. Gọi $A’$ là giao điểm ($A'$ khác $P$) của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCP$ và đường thẳng $AP$, tương tự xác định $B’$ và $C’$. Gọi $X, Y, Z$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $B’C’P, C’A’P,A’B’P$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAX, PBY, PCZ$ thẳng hàng.

Toán thủ ra đề: Trần Đức Anh @@

[E. Galois]

Đề bài bị gõ sai 1 lỗi nhỏ:

($A$ khác $P$)

Mình đã sửa lại ở trên, thành thật xin lỗi các bạn

[chinhanh9]

Trước tiên thì ta cần xét đến một bổ đề:
Bổ đề: Cho tam giác $ABC$, $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$.$I$ là điểm bất kì nằm trong tam giác. Đường trung trực của $IA$ cắt $B'C'$ tại $M$, của $IA$ cắt $C'A'$ tại $N$, của $IC$ cắt $A'B'$ tại $P$. Khi đó: $M,N,P$ thẳng hàng.

Quay trở lại với bài toán:
Gọi $A_{1},B_{1},C_{1}$ lần lượt là tâm các đường tròn $\left ( PBC \right ),\left ( PCA \right ),\left ( PAB \right )$. Dễ thấy $A_{1}\in YZ, B_{1}\in ZX,C_{1}\in XY$.Xét tam giác $XYZ$, ta có:
$A_{1}B_{1}//XY,B_{1}C_{1}//YZ,C_{1}A_{1}//XZ$.
Suy ra, $A_{1},B_{1},C_{1}$ theo thứ tự là trung điểm của $YZ,ZX,XY$.
Gọi $M,N, Q$ lần lượt là tâm các đường tròn $\left ( PAX \right ),\left ( PBY \right ),\left ( PCZ \right )$. Ta thấy $M$ chính là giao điểm của đường trung trực $PX$
với $B_{1}C_{1}$. Tương tự đối với $N, Q$. Vậy theo bổ đề đã nêu: $M,N,Q$ thẳng hàng (đpcm)

Attached Images

• 
• 

[chinhanh9]

Chứng minh bổ đề:
Các đường trung trực của $IA,IB,IC$ cắt nhau tại ba điểm $M'.N',P'$. Dễ thấy các tam giác $M'BC,N'CA,P'AB$ cân nên $M'A', N'B',P'C'$ đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác $A'B'C'$ và $M'N'P'$ ta được $M,N,P$ thẳng hàng.
ĐỊNH LÝ DESARGUES:
Cho hai tam giác $ABC, MNP$ có $AM,BN,CP$ đồng quy tại $O$. Gọi $I,J,K$ theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng $\left ( AB.MN \right ),\left ( BC,NP \right ),\left ( CA,PM \right )$. Khi đó, ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.
Chứng minh:
Áp dụng định lý Menelaus cho các tam giác $OAB,OBC,OCA$ ta có:
$\frac{IA}{IB}.\frac{NB}{NO}.\frac{MO}{MA}= 1$
$\frac{JB}{JC}.\frac{PC}{PO}.\frac{NO}{NB}= 1$
$\frac{KC}{KA}.\frac{MA}{MO}.\frac{PO}{PC}= 1$ (là các độ dài đại số nhưng em kiếm ko ra mấy cái gạch)
Nhân theo vế ta được:
$\frac{IA}{IB}.\frac{JB}{JC}.\frac{KC}{KA}= 1$, suy ra $I,J,K$ thẳng hàng (đpcm)

Điểm bài: 10
S = 52 - 51 + 3x10 + 0 + 0 = 31

Attached Images

• 

Edited by E. Galois, 05-09-2012 - 09:46.
Chấm điểm

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc. Các toán thủ hãy nhận xét bài làm của nhau.

Chú ý: toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

[Trần Đức Anh @@]

File đề+đáp án

Yes

Attached Files

•  MO.doc   23KB   3 downloads

[perfectstrong]

File đề+đáp án

Yes

Sao không down được nhỉ?

[E. Galois]

Sao không down được nhỉ?

Thử bản này xem
 MO.doc   23KB   325 downloads

[E. Galois]

Điểm cho toán thủ ra đề
D = 4x51 + 2x39 + 0 = 282

Các toán thủ chú ý, từ trận sau, MO sẽ có thêm trọng tài mới là TRONG TAI

[tungc3sp]

Bài này đã từng xuất hiện bên MathScope với một lời giải sử dụng phép nghịch đảo!

[diepviennhi]

Bài này đã từng xuất hiện bên MathScope với một lời giải sử dụng phép nghịch đảo!

Bạn nên gửi kèm link cho mọi người dễ xem.