Dưới đây cũng chỉ là những phỏng đoán của mình, và mình vẫn chưa chứng minh được.
Nếu ai có ý tưởng, phương hướng cụ thể để chứng minh, xin hãy post thẳng vào đây, đừng ngại ngùng
Rất cảm ơn các bạn đã đọc bài viết này.
=============================
Xin nhắc lại về đường thẳng Simpson:
Cho $\vartriangle ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy $M$ bất kì trên $(O)$. Hạ $MD \perp BC; ME \perp AC; MF \perp AB$. Khi đó, $M,E,F$ thẳng hàng. Ta gọi đường thẳng qua $M,E,F$ là đường thẳng Simpson của $D$ đối với $(O)$, kí hiệu $d_D$
Ta có bài toán quen thuộc sau:
Cho $\vartriangle ABC$ nội tiếp $(O)$. Vẽ đường kính $DE$. Xác định $d_D;d_E$ cắt nhau tại $F$.
Khi đó, $F$ chạy trên đường tròn Euler của $\vartriangle ABC$.
Mở rộng bài toán, ta có các kết quả sau:
Mở rộng 1: Cho $\vartriangle ABC$ nội tiếp $(O)$ và $T$ cố định nằm trong $(O)$.
Vẽ dây $DE$ di động luôn qua $T$. Xác định $d_D;d_E$ cắt nhau tại $F$.
Khi đó, $F$ chạy trên 1 elip cố định.
Mở rộng 2: Cho $\vartriangle ABC$ nội tiếp $(O)$ và $T$ cố định nằm ngoài $(O)$.
Vẽ cát tuyến $TDE$ di động. Xác định $d_D;d_E$ cắt nhau tại $F$.
Khi đó, $F$ chạy trên 1 hyperbol cố định.
===============================
Trong Mở rộng 1,2, ta gọi chung elip và hyperbol là conic.
Ta quy định chiều dương trên trục $BC,CA,AB$ cùng chiều với $\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{AB}$.
Ta vẽ conic cố định đó cắt $BC$ thứ tự tại $M,N$; cắt $CA$ tại $P,Q$; cắt $AB$ tại $R,S$ sao cho $x_M<x_N;x_P<x_Q;x_R<x_S$.
Nếu $T$ trùng với 1 trong các điểm $I,G,H$ thì các bộ đường thẳng $(AM;BQ;CS);(AN;BQ;CS)$ đồng quy thứ tự tại $X,Y$.
Đặc biệt, khi $T \equiv H$ thì $Y \equiv H$
