Chủ đề này có 195 trả lời

[minhhieukaka]

Câu 3: Giải phuơng trình vô tỷ sau
$x^{2}+3x+1=(x+3)$\sqrt{x^{2}+1}$$\sqrt{x^{2}+1}$\sqrt{x^{2}-1}$

Bí quá nhỉ
Mình xin chém
Đặt $\sqrt{x^{2}+1}$ = y =>$x^{2}+1$ = $y^{2}$
Phương trình đã cho thành : $y^{2}$+ 3x = (x+3) y ( trong đó y là ẩn, và x là tham số0
<=> $y^{2}$ - (x+3)y +3x =0
Giải phương trình trên theo công thức nghiệm ta được
y = 3 hoặc y = x
Giải y = 3 => $x^{2}$ +1 =9 => x= $\pm 2\sqrt{2}$
Giải y= x => vô nghiệm
Vậy Nghiệm của pt là S= $\pm 2\sqrt{2}$
___________________
Giải nốt bài hình hộ mình đi rồi post tiếp nhé. Phần mình nhé!!!!

[minhhieukaka]

GIẢI

giả sử AC cắt BD tại M ta có
Xét tam giác ABC có OC là trung tuyến và có độ dài bằng nửa cạnh AB
chứng tỏ $\Delta$ ABC vuông tại C
=> góc BCM= 90⁰
Xét tam giác ODB = tam giác ODC (cạnh huyền cạnh góc vuông)
=> DC = DB (1)
=> $\Delta$ DBC cân tại D => góc DCB = góc DBC
vì $\angle$ BCM = 90⁰ => $\angle$ MCD + $\angle$ DCB = 90⁰
LẠI CÓ $\angle$ CMB + $\angle$ MBC = 90⁰
=>$\angle$ MCD + $\angle$ DCB = $\angle$ CMB + $\angle$ MBC
VÌ góc DCB = góc DBC nên góc MCD = góc CMD
=> $\Delta$ MCD cân tại D => MD= DC (2)
từ 1 và 2 =>MD = DB
TA CÓ
CH song song với MB
theo ta let có
$\frac{CI}{MD}= \frac{IH}{DB}$ => CI = IH
chứng tỏ I là trung điểm của CH (dpcm)

[minhhieukaka]

XIN LỖI MÌNH GỬI THIẾU HÌNH

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhieukaka: 06-10-2012 - 20:52

[duongchelsea]

Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.

ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2001-2002

Bài 1:(4 điểm)
a) Gọi $A$ là tích $2002$ số tự nhiên $k$ khác $0$ đầu tiên. Ta chia $A$ lần lượt cho $1;2;3;...;2002$ được các thương tương ứng là $A_1;A_2;A_3;...;A_{2002}$. Chứng minh rằng tổng $(A_1+A_2+A_3+...+A_{2002})$ chia hết cho $2003$.
b) Cho $n$ là số tự nhiên khác $0$ và $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh rằng trong hai số $(p^n+1)$ và $(2p^n+1)$có ít nhất một số là hợp số.

Bài 2: (4 điểm)
Cho phương trình
$$x^2+(a-2b-2)x+(a-2b-7)=0$$
trong đó $a\geq 3$ và $b\leq 1$. Hãy tìm giá trị lớn nhất mà nghiệm của phương trình có thể đạt được.

Bài 3:(4 điểm)
Giải phương trình
$$x+1=\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{4(x+1})}}$$

Bài 4: (4 điểm)
Trong hình chữ nhật kích thước $7$ cm x $10$ cm, ta đặt $7$ điểm khác nhau một cách hú họa. Chứng minh rằng luôn tìm được $2$ điểm trong $7$ điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $5$ cm.

Bài 5: (4 điểm)
Dựng một tam giác thỏa mãn hai điều kiện: Độ dài hai trung tuyến là $m,n$ và diện tích tam giác là lớn nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 12-10-2012 - 21:49

[thedragonknight]

Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2001-2002

Bài 1:(4 điểm)
a) Gọi $A$ là tích $2002$ số tự nhiên $k$ khác $0$ đầu tiên. Ta chia $A$ lần lượt cho $1;2;3;...;2002$ được các thương tương ứng là $A_1;A_2;A_3;...;A_{2002}$. Chứng minh rằng tổng $(A_1+A_2+A_3+...+A_{2002})$ chia hết cho $2003$.
b) Cho $n$ là số tự nhiên khác $0$ và $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh rằng trong hai số $(p^n+1)$ và $(2p^n+1)$có ít nhất một số là hợp số.

Chém câu 1b:
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Cho nên $p$ chia 3 dư 1 hoặc -1
Với p chia 3 dư 1 thì
$2p^n+1$ chia hết cho 3 rõ ràng $2p^n+1 >3$ nên nó là hợp số.
Với p chia 3 dư -1
* n chẵn thì $2p^n+1$ chia hết cho 3 nên nó là hợp số
*n lẻ thì $p^n+1$ chia hết cho 3 nên nó là hợp số
Từ đó ta có đpcm.

[caybutbixanh]

Bài làm trên khiến mình nhớ cái chủ đề này :http://diendantoanho...ải-toan-số-học/

[ducthinh26032011]

Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2001-2002

Bài 1:(4 điểm)
a) Gọi $A$ là tích $2002$ số tự nhiên $k$ khác $0$ đầu tiên. Ta chia $A$ lần lượt cho $1;2;3;...;2002$ được các thương tương ứng là $A_1;A_2;A_3;...;A_{2002}$. Chứng minh rằng tổng $(A_1+A_2+A_3+...+A_{2002})$ chia hết cho $2003$.

Bài 4: (4 điểm)
Trong hình chữ nhật kích thước $7$ cm x $10$ cm, ta đặt $7$ điểm khác nhau một cách hú họa. Chứng minh rằng luôn tìm được $2$ điểm trong $7$ điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $5$ cm.

1)Ta có:
$A_1+A_2+A_3+...+A_{2002}=\frac{2002!}{1}+\frac{2002!}{2}+...+\frac{2002!}{2002}=\frac{2003.2012!}{1.2002}+\frac{2003.2012!}{2.2001}+...+\frac{2003.2012!}{1000.1001}\vdots 2003$

4)Ta chia hình chữ nhật làm 6 hình chữ nhật nhỏ có kích thước $\frac{10}{3}cm$ x $\frac{7}{2}cm$.Theo nguyên lí Dirchlet,có một ô có 2 điểm,khoảng cách xa nhất là đường chéo = $\frac{29}{6}< 5$ nên suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 08-10-2012 - 21:55

[thedragonknight]

Theo định lý wilson ta có:
$2002!\equiv -1(mod2003)$
Trong các thừa số của tích A có $1001$ cặp số có tích $\equiv -1(mod2003)$
Dựa vào kết quả trên ta có $A_1;A_2:...$ chia 2003 có số dư chạy từ 1 đến 2002.
Khi đó tổng của chúng $\equiv 1+2+...+2002=\frac{2002.2013}{2}\equiv 0(mod2003)$
Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 08-10-2012 - 22:05

[ducthinh26032011]

Bài 2: (4 điểm)
Cho phương trình
$$x^2+(a-2b-2)x+(a-2b-7)=0$$
trong đó $a\geq 3$ và $b\leq 1$. Hãy tìm giá trị lớn nhất mà nghiệm của phương trình có thể đạt được.

$a-2b-2\geq -1,a-2b-7\geq -6$
Suy ra:$$x^{2}+x(a-2b-2)+(a-2b-7)\geq x^{2}-x-6$$
$$\Leftrightarrow 0\geq (x+2)(x-3)\Leftrightarrow -2\leq x\leq 3$$
Vậy $max$ $x= 3$

[thedragonknight]

Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2001-2002

Bài 3:(4 điểm)
Giải phương trình
$$x+1=\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{2(x+1)+2\sqrt{4(x+1})}}$$

TXĐ: $x\geq 1$
Đặt $a=x+1$ $(a\geq 0)$. Khi đó pt trở thành
$$a=\sqrt{2a+2\sqrt{2a+4\sqrt{a})}}$$
$\Rightarrow a^2-2a=2\sqrt{2a+4\sqrt{a}}\Rightarrow a^4-4a^3+4a^2=8a+16\sqrt{a}\Leftrightarrow a^4-4a^3+4a^2-8a-16\sqrt{a}=0$
Với $a=0$ là nghiệm của pt
Xét $a\neq 0$. Chia cả 2 vế cho $a\sqrt{a}$. Khi đó pt trở thành:
$a^2\sqrt{a}-4a\sqrt{a}+4\sqrt{a}-\frac{8}{\sqrt{a}}-\frac{16}{a}=0\Leftrightarrow \sqrt{a}(\sqrt{a}-2)^2(\sqrt{a}+2)^2+4\sqrt{a}(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)+\frac{(\sqrt{a}-2)(4a+8\sqrt{a}+8)}{a}=(\sqrt{a}-2)(......)=0\Leftrightarrow a=4$
Từ đó suy ra $x=1;3$ là nghiệm pt.
P/s: Ko biết có ai làm cách nào hợp lí hơn ko. Làm cách này thấy ko đẹp mắt,hợp lí lắm . Bài 5 xem lại đề.(chẳng hiểu đề nói gì )

[Math Is Love]

Bài 4: (4 điểm)
Trong hình chữ nhật kích thước $7$ cm x $10$ cm, ta đặt $7$ điểm khác nhau một cách hú họa. Chứng minh rằng luôn tìm được $2$ điểm trong $7$ điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $5$ cm.

Giải như sau:
Chia bảng ô vuông đó thành các phần như hình vẽ.

Vì có $7$ điểm,$6$ phần nên theo nguyên lí Đi-rích-lê,tồn tại 1 phần có 2 điểm.
Vì khoảng cách 2 điểm bất lì trong mỗi phần đều không vượt quá $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ nên ta có đpcm.

[duongchelsea]

Được sự đồng ý của chủ topic là caybutbixanh, hôm nay, mình sẽ bắt đầu gửi một số đề thi hsg do mình sưu tầm được. Mong các bạn ủng hộ topic bằng cách tích cực tham gia.

ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2001-2002

Bài 5: (4 điểm)
Dựng một tam giác thỏa mãn hai điều kiện: Độ dài hai trung tuyến là $m,n$ và diện tích tam giác là lớn nhất.

Mình xin giải nốt câu cuối cùng của đề trước khi post đề mới.
Đây là bài toán dựng hình, vì vậy phải có đủ 4 phần: Phân tích, Cách dựng, Chứng minh và Biện luận.
Nhưng mình sẽ chỉ làm phần Phân tích và Cách dựng thôi, mong mn thông cảm.

Phân tích:
Giả sử $\Delta ABC$ đã dựng được thỏa mãn yêu cầu đề bài:
$AM=m,BN=n$ (trong đó $AM,BN$ là các trung tuyến của $\Delta ABC$) và $S_{\Delta ABC}$ đạt giá trị lớn nhất.
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Ta thấy, nếu hạ $BH$ vuông góc xuống $AM$, thì $S_{\Delta ABC}=2S_{\Delta ABM}=2.\frac{1}{2}.AM.BH=AM.BH\leq AM.BG=m.\frac{2}{3}n=\frac{2}{3}.m.n=const$
Vậy $S_{\Delta ABC}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $BH\perp AM\Leftrightarrow BN\perp AM$ tại $G$.

Cách dựng:
- Dựng đoạn thẳng $AM$ có độ dài $m$.
- Dựng điểm $G$ trên đoạn $AM$ sao cho $AG=\frac{2}{3}m$.
- Dựng đường thẳng $d$ vuông góc với $AM$ tại $G$.
- Dựng các điểm $B,N$ trên $d$ về 2 phía so với $AM$, sao cho $BG=\frac{2}{3}n,GN=\frac{1}{3}n$.
- Dựng điểm $C$ là giao điểm của $AN$ và $BM$.
Vậy $\Delta ABC$ là tam giác cần dựng.

[duongchelsea]

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2002 - 2003

Bài 1: (4 điểm)
a) Nếu viết liên tiếp $9999$ số $2003$ ta được số mới $A=20032003...2003$. Hãy tìm số dư trong phép chia $A$ cho $9999$.
b) Cho $a,b$ là các số tự nhiên khác $0$ và $a^2+b^2\vdots ab$. Hãy tính giá trị của biểu thức: $\frac{a^2+b^2}{ab}$.

Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{2x+\sqrt{4x^2-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x^2-1}}=2$
b) Tìm các giá trị của $m$ đề phương trình sau có nghiệm:
$$\sqrt{2x+\sqrt{4x^2-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x^2-1}}=4x^2-2x+2+m^2$$
Hãy tính nghiệm của phương trình trong trường hợp có nghiệm.

Bài 3: (4 điểm)
Cho $0 < x < 2$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\frac{2}{2-x}+\frac{1}{x}$.

Bài 4: (4 điểm)
Cho $10$ điểm phân biệt, không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong một tam giác đều có cạnh là $2 cm$. Chứng minh rằng luôn tìm được $3$ điểm trong $10$ điểm đã cho, $3$ điểm này lập thành một tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: Là tam giác có diện tích không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}cm^2$ và có ít nhất một góc nhỏ hơn hoặc bằng $45^o$.

Bài 5: (4 điểm)
Cho đường tròn $(O ; R)$ và một dây $AB$ cố định, $AB=R\sqrt{3}$. Gọi $P$ là điểm chíng giữa cung nhỏ $AB$. Đường thằng $d$ quay quanh $P$ nhưng luôn cắt đoạn $AB$ tại điểm $N$ $(N\neq A,B)$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$. Gọi $I$ là điểm nằm trên đoạn $BM$ sao cho $BI=\frac{1}{3}BM$.
a) Chứng minh rằng $AP$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.
b) Hãy dựng đường thẳng $d$ sao cho tổng khoảng cách từ điểm $I$ đến hai đường thẳng $AO$ và $AP$ là nhỏ nhất.

Lưu ý: Nếu có thắc mắc về đề, mong mọi người nhắn tin cho mình sớm nhất để sửa chữa. Mong mọi người tham gia nhiệt tình!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 15-10-2012 - 21:47

[caybutbixanh]

Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình $\sqrt{2x+\sqrt{4x^2-1}}+\sqrt{2x-\sqrt{4x^2-1}}=2$(1)

kđ : x$\geq$ 0
(1)$<=> 4x+\sqrt{4x^{2}-4x^{2}+1}=4 <=> 4x=3 <=> x=\frac{3}{4}$

[caybutbixanh]

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2002 - 2003

Bài 3: (4 điểm)
Cho $0 < x < 2$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\frac{2}{2-x}+\frac{1}{x}$.

Ta có :

$\frac{1}{A}=\frac{2-x}{2}+x=\frac{x+2}{2}=\frac{x}{2}+1\\
Do: 0<x<2 => 0<\frac{x}{2}<1
=> \frac{1}{A}\leq 1+1=2\\
=> MinA=\frac{1}{2}<=> x=1$

[duongchelsea]

Ta có :

$\frac{1}{A}=\frac{2-x}{2}+x=\frac{x+2}{2}=\frac{x}{2}+1\\
Do: 0<x<2 => 0<\frac{x}{2}<1
=> \frac{1}{A}\leq 1+1=2\\
=> MinA=\frac{1}{2}<=> x=1$

Đây là một nhầm lẫn hết sức nguy hiểm.
$\frac{1}{a+b}\neq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$
Chính vì vậy, $\frac{1}{A}\neq \frac{1}{\frac{2}{2-x}}+\frac{1}{\frac{1}{x}}= \frac{2-x}{2}+x$
Bài làm của caybutbixanh sai từ bước đó.

[Joker9999]

Áp dụng BDT Cauchy-Schawz : $(\frac{2}{2-x}+\frac{1}{x})(2-x+x)\geq(\sqrt{2}+1)^{2}$
Dấu bằng xảy ra khi x=.... tự ghi nốt

[minhhieukaka]

ĐỀ SỐ 5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học 2002 - 2003

Bài 3: (4 điểm)
Cho $0 < x < 2$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\frac{2}{2-x}+\frac{1}{x}$.

Giải

Ta có:
$A=\frac{2}{2-x}+\frac{1}{x}$.
<=> 2A = $\frac{4}{2-x}+\frac{2}{x}$
<=> 2A - 3 = $\frac{4}{2-x}-2+\frac{2}{x}-1$
<=.> 2A - 3 = $\frac{2x}{2-x}+\frac{2-x}{x}$
Kết hợp với ĐK. Áp dụng bất đẳng thức cosi có
2A -3 $\geq \sqrt{\frac{2x}{2-x}*\frac{2-x}{x}}= \sqrt{2}$
A $\geq \frac{\sqrt{2}+3}{2}$
Vậy min A = \frac{\sqrt{2}+3}{2}$ khi x = ...... ( lười quá k tính )

[xuanha]

mọi người vào đây giải giúp

http://diendantoanho...tỉ-số-fracahak/

[caybutbixanh]

mọi người vào đây giải giúp

http://diendantoanho...tỉ-số-fracahak/

Xin lỗi bạn vì bạn gửi không đúng chỗ rồi . Ở đây là mọi người trao đổi về các đề thi ,còn nhờ hỏi bài thì đăng trên status hoặc lời nhắn . Bạn thấy tự nhiên topic lạc mất tiêu đề ban đầu