Chủ đề này có 5 trả lời

[Mrnhan]

giải hệ phương trình:

$$ \left\{\begin{matrix}
x^3+y^3+z^3=2010^3 & \\ x^2+y^2+z^2=2010^2
&
\end{matrix}\right. $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangtuNhanAnh: 04-09-2012 - 22:52

[Tham Lang]

Từ phương trình 2, suy ra $x,y,z \le 2010(1)$
Ta có phương trình :
$$x^2(x-2010)+y^2(y-2010)+z^2(z-2010) =0(2)$$
Kết hợp $(1), (2)$ suy ra $x=2010, y=z=0$ hoặc hoán vị
_____________________________
Nhầm tí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 05-09-2012 - 09:09

[triethuynhmath]

giải hệ phương trình:

$$ \left\{\begin{matrix}
x^3+y^3+z^3=2010^3 & \\ x^2+y^2+z^2=2010^2
&
\end{matrix}\right. $$

Từ phương trình 2, suy ra $x,y,z \le 2010(1)$
Ta có phương trình :
$$x^2(x-2010)+y^2(y-2010)+z^2(z-2010) =0(2)$$
Kết hợp $(1), (2)$ suy ra $x=y=z=2010$

Xin nêu ra 1 hướng giải khac và bài toán tổng quát:
Từ hệ trên ta được:
$\left\{\begin{matrix} \sum (\frac{x}{2010})^3=1 \\ \sum (\frac{x}{2010})^2=1 \end{matrix}\right.$
Từ Phương trình 2 có: $\begin{vmatrix} \frac{x}{2010} \end{vmatrix} \leq 1\Rightarrow -1 \leq \frac{x}{2010} \leq 1 \Rightarrow (\frac{x}{2010})^3\leq (\frac{x}{2010})^2$
Tương tự cộng lại ta có:
$\sum (\frac{x}{2010})^3\leq \sum (\frac{x}{2010})^2\Leftrightarrow 1\leq 1$
Vậy dấu "=" ở các bất đẳng thức xảy ra hay: $\frac{x}{2010}=1,...\Leftrightarrow x=2010,y=0,z=0(Q.E.D)$ và các hoán vị
Nếu sử dụng cách giải này sẽ khả thi hơn để giải quyết bài toán tổng quát.
Giải hệ phương trình với $a\neq 0$
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=a \\ x_{1}^2+x_{2}^2+...+x_{n}^2=a^2 \\ .... \\ x_{1}^n+x_{2}^n+...+x_{n}^n=a^n \end{matrix}\right.$
Bài này mang tính chất "hù dọa" chứ cách giải chẳng khác mấy so với cách giải mà mình vừa đưa ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 05-09-2012 - 11:37

[Mrnhan]

Xin nêu ra 1 hướng giải khac và bài toán tổng quát:
Từ hệ trên ta được:
$\left\{\begin{matrix} \sum (\frac{x}{2010})^3=1 \\ \sum (\frac{x}{2010})^2=1 \end{matrix}\right.$
Từ Phương trình 2 có: $\begin{vmatrix} \frac{x}{2010} \end{vmatrix} \leq 1\Rightarrow -1 \leq \frac{x}{2010} \leq 1 \Rightarrow (\frac{x}{2010})^3\leq (\frac{x}{2010})^2$
Tương tự cộng lại ta có:
$\sum (\frac{x}{2010})^3\leq \sum (\frac{x}{2010})^2\Leftrightarrow 1\leq 1$
Vậy dấu "=" ở các bất đẳng thức xảy ra hay: $\frac{x}{2010}=1,...\Leftrightarrow x=y=z=2010(Q.E.D)$
Nếu sử dụng cách giải này sẽ khả thi hơn để giải quyết bài toán tổng quát.
Giải hệ phương trình với $a\neq 0$
$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=a \\ x_{1}^2+x_{2}^2+...+x_{n}^2=a^2 \\ .... \\ x_{1}^n+x_{2}^n+...+x_{n}^n=a^n \end{matrix}\right.$
Bài này mang tính chất "hù dọa" chứ cách giải chẳng khác mấy so với cách giải mà mình vừa đưa ra

hình như không chuẩn
em thấy $x_{1}=x_{2}=..x_{n}=a$ là không chính xác, ở trên bài kia cũng như vậy

[Beautifulsunrise]

hình như không chuẩn
em thấy $x_{1}=x_{2}=..x_{n}=a$ là không chính xác, ở trên bài kia cũng như vậy

Do đó HPT vô nghiệm.@_^

[Mrnhan]

Do đó HPT vô nghiệm.@_^

hệ phương trình không vô nghiệm
có là: 1 nghiệm bằng a, các nghiệm còn lại bằng 0