Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$\sum_{cyc}a^3\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}=\frac{3\sqrt{3}abc}{4}$

cũ .

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 06-09-2012 - 18:16

Đây là một bài toán đã cũ của thầy Thanh và khá hay :D
Baì toán: Cho $a,b,c$ lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC.Nhận dạng tam giác ABC nếu:
$$a^3\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}+b^3\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A}{2}}+c^3\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}=\frac{3\sqrt{3}abc}{4}$$

 

ở đây


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 congson21598

congson21598

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Toán Học

Đã gửi 24-07-2014 - 10:44

T\$ Ta có: a= 2RsinA.   b =2RsinB.   c=2RsinC$

Thay vào đề, BTVT:

$\sum 8sin^{3}A.sin\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}=6\sqrt{3}sinA.sinB.sinC$

Vì A,B,C là 3 góc tam giác nên áp dụng được bất đẳng thức cô si cho vế trái thì:

$6\sqrt{3}sinA.sinB.sinC=$$\sum 8sin^{3}A.sin\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}$$\geq 24\sqrt[3]{sinA.sinB.sinC.\prod (sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2})}$

=$12sinA.sinB.sinC\sqrt[3]{sinA.sinB.sinC}$

hay chứng minh sinA.sinB.sinC$\leq (\frac{\sqrt{3}}{2})^{3}$

bất đẳng thức luôn đúng vì

sinA+sinB+sinC$\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Nên tam giác ABC đều


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congson21598: 24-07-2014 - 10:53

"Thành công lớn nhất là đứng dậy sau những vấp ngã" :ukliam2: 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh