Đến nội dung

Hình ảnh

[MO2013] Trận 3 - Bất đẳng thức


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 20 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 07/09/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 3 có 36 toán thủ tham gia nên sau trận này, 06 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Cho các số thực dương $a,b,c,x,y,z$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{bcx}{(x+y)(x+z)}+\frac{acy}{(x+y)(y+z)}+\frac{abz}{(x+z)(y+z)}\leq \frac{(a+b+c)^2}{4(x+y+z)}$$

Toán thủ ra đề WhjteShadow

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Cho các số thực dương $a,b,c,x,y,z$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{bcx}{(x+y)(x+z)}+\frac{acy}{(x+y)(y+z)}+\frac{abz}{(x+z)(y+z)}\leq \frac{(a+b+c)^2}{4(x+y+z)}$$

Lời giải của nthoangcute:
Ta đặt $x+y=p, y+z=m,z+x=n$ với $m,n,p>0$
Khi đó $x=\frac{n+p-m}{2}$
$y=\frac{m+p-n}{2}$
$z=\frac{n+m-p}{2}$
Do đó $$\frac{bcx}{(x+y)(x+z)}+\frac{acy}{(x+y)(y+z)}+\frac{abz}{(x+z)(y+z)}\leq \frac{(a+b+c)^2}{4(x+y+z)}$$
$$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{4(x+y+z)}- (\frac{bcx}{(x+y)(x+z)}+\frac{acy}{(x+y)(y+z)}+\frac{abz}{(x+z)(y+z)}) \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{2(m+n+p)}-\frac{bc(n+p-m)}{2pn}-\frac{ac(m+p-n)}{2pm}-\frac{ab(m+n-p)}{2mn} \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{mnp(a^2+b^2+c^2)-bcm(p^2+n^2-m^2)-can(m^2+p^2-n^2)-bap(m^2+n^2-p^2)}{2mnp(m+n+p)} \geq 0$$
$$\Leftrightarrow pnma^2+(cn^3-cnm^2-cnp^2-bpm^2-bpn^2+bp^3)a-bcmp^2+pnmb^2+pnmc^2-bcmn^2+bcm^3 \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{(2apnm+cn^3-cnm^2-cnp^2-bpm^2-bpn^2+bp^3)^2}{4mnp}+ (m+n+p)(m+n-p)(n+p-m)(p+m-n)(bp-cn)^2 \geq 0$$
Do $x,y,z >0$ nên $(m+n+p)(m+n-p)(n+p-m)(p+m-n)>0$
Suy ra $\frac{(2apnm+cn^3-cnm^2-cnp^2-bpm^2-bpn^2+bp^3)^2}{4mnp}+ (m+n+p)(m+n-p)(n+p-m)(p+m-n)(bp-cn)^2 \geq 0$
Vậy ta được $$\frac{bcx}{(x+y)(x+z)}+\frac{acy}{(x+y)(y+z)}+\frac{abz}{(x+z)(y+z)}\leq \frac{(a+b+c)^2}{4(x+y+z)}$$ (đpcm)

D-B=0.5h
E=10
F=0
S=81.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 10-09-2012 - 18:27

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
giả sử $a\leq b\leq c ; x\leq y\leq z$
$\Leftrightarrow bc\geq ac\geq ab$ và $\frac{x(y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{y(x+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{z(y+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Áp dụng bđt chebyshev ta có
$VT\Leftrightarrow\frac{bcx(y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{acy(x+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}+\frac{abz(x+y)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$\leq (bc+ac+ab)\frac{2(xy+yz+zx)}{3(x+y)(y+z)(z+x)}$
suy ra ta cần chứng minh
$(bc+ac+ab)\frac{2(xy+yz+zx)}{3(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{(a+b+c)^2}{4(x+y+z)}$
$\Leftrightarrow\frac{8(xy+yz+zx)(x+y+z)}{3(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$
mà $3\leq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$ nên ta cần chứng minh
$\frac{8(xy+yz+zx)(x+y+z)}{3(x+y)(y+z)(z+x)}\leq 3$
$\Leftrightarrow8(xy+yz+zx)(x+y+z)\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$
$\Leftrightarrow y(x-z)^2+x(y-z)^2+z(x-y)^2\geq 0$(đúng)
Vậy ta có đpcm
Dấu $'='\Leftrightarrow a=b=c;x=y=z$

S=0

Hình đã gửi


#5
Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$4bc(x+y+z)(y+z)+4ca(x+y+z)(z+x)+4ab(x+y+z)(x+y)\geq(a+b+c)^2(x+y)(y+z)(z+x)$
$\Leftrightarrow ((a+b+c)^2-4bc-4ca)(x^2y+y^2x)+((a+b+c)^2-4ca-4ab)(y^2z+z^2y)+((a+b+c)^2-4ab-4bc)(x^2z+z^2x)\geq{(8(ab+bc+ca)-2(a+b+c)^2)xyz}$
$\Leftrightarrow (a+b-c)^2(x^2y+y^2x)+(b+c-a)^2(y^2z+z^2y)+(c+a-b)^2(x^2z+z^2x)\geq{(4(ab+bc+ca)-2(a^2+b^2+c^2))xyz}$ (*)
Sử dụng bất đẳng thức $m^2+n^2\geq{2mn}$ với mọi $m$, $n$ (tương đương với $(m-n)^2\geq{0}$) ta có:
$(a+b-c)^2x^2y+(b+c-a)^2z^2y\geq{2(a+b-c)(b+c-a)xyz}$ (1)
tương tự:
$(b+c-a)^2y^2z+(c+a-b)^2x^2z\geq{2(b+c-a)(c+a-b)xyz}$ (2)
$(c+a-b)^2z^2x+(a+b-c)^2y^2x\geq{2(c+a-b)(a+b-c)xyz}$ (3)
Cộng theo vế (1),(2),(3) rồi rút gọn vế phải vừa thu được, thì ta có ngay (*). Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi $a=b=c$ và $x=y=z$
Chứng minh hoàn tất.

D-B=2h
E=10
F=0
S=80

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 10-09-2012 - 18:41

Chữ ký spam! Không cần xoá!

#6
BoBoiBoy

BoBoiBoy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Anh ơi xóa hộ em mấy bài trên em lỡ tay ấn nút Trả lời .Đây mới là bài làm của em:
Đặt $x+y=m;y+z=n;z+x=p(m+n> p;n+p> m;m+p> n)$(do x;y;z dương)
BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum \frac{bc(m+p-n)}{2mp}\leq \frac{(a+b+c)^2}{2(m+n+p)}$
$\Leftrightarrow \sum \frac{bc\left [(m+p)^2-n^2 \right ]}{mp}\leq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \sum \frac{bc(m^2+p^2-n^2)}{mp}\leq a^2+b^2+c^2$.
Đặt $\frac{m^2+p^2-n^2}{mp}=M;\frac{m^2+n^2-p^2}{mn}=N; \frac{n^2+p^2-m^2}{np}=P$.
Ta cần chứng minh:$bc.M+ac.N+ab.P\leq a^2+b^2+c^2$. (1)
Ta có: $\frac{m^2+p^2-n^2}{mp}-2=\frac{(m-n)^2-p^2}{mn}=\frac{(m-n+p)(m-n-p)}{mn}\leq 0$
$\frac{m^2+p^2-n^2}{mp}+2=\frac{(m+n)^2-p^2}{mn}=\frac{(m+n+p)(m+n-p)}{mn}\geq 0$ (do m+n> p;n+p> m;m+p> n)
$\Rightarrow -2\leq \frac{m^2+p^2-n^2}{mp}\leq 2\Rightarrow (\frac{m^2+p^2-n^2}{mp})^2\leq 4$$\Rightarrow M^2\leq 4$
Không mất tính tổng quát ta cho a=1.Khi đó (1) trở thành: X
$bc.M+c.N+b.P\leq 1+b^2+c^2$ (2)
$\Leftrightarrow c^2-c(b.M+N)+(b^2-b.P+1)\geq 0$
Xét $f( c )= c^2-c(b.M+N)+(b^2-b.P+1)$ có $\Delta _c=(b.M+N)^2-4(b^2-b.P+1)=b^2(M^2-4)+b(2MN+4P)+N^2-4$
Xét $f(b)=b^2(4-M^2)-b(2MN+4P)+4-N^2$ có $\Delta _b=4\left [(MN+2P)^2-(4-M^2)(4-N^2) \right] =16(M^2+N^2+P^2+MNP-4)$.
Ta có:$M^2+N^2+P^2+MNP=\sum (\frac{m^2+p^2-n^2}{mp})^2+\prod \frac{m^2+p^2-n^2}{mp}$
$=\sum \frac{(a+c-b)^2}{ac}+\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{abc}$( với $a=m^2;b=n^2;c=p^2$)
$=\frac{\sum(a+c-b)^2b+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{abc}=\frac{4abc}{abc}=4$
$\Rightarrow \Delta _b=0\Rightarrow f(b).(4-M^2)\geq 0\Rightarrow f(b)\geq 0$(do $4\geq M^2$).
$\Rightarrow \Delta _c\leq 0\Rightarrow f( c )\geq 0$ hay (2) được chứng minh.
Vậy BĐT được chứng minh.

Ở chỗ dấu X, không thể giả sử như vậy, vì $a$ là biến số. Nếu giải tổng quát theo $a$ thì phần sau vẫn sẽ được trọn điểm. Nhưng vì giả sử sai nên coi như là được điểm ý tưởng cho phần sau. Không nên đặt tên hàm trùng nhau trong khi bản chất là khác nhau.
D-B=26
E=5
F=0
S=41

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 10-09-2012 - 20:02

Hình đã gửi

#7
davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Bài giải


Bổ đề : Cho x ,y ,z là các số thực dương ta có bất đẳng thức sau
$$\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{z}{(z+x)(z+y)} \le \dfrac{9}{4(x+y+z)}$$
Lời giải bổ đề :
$$\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{z}{(z+x)(z+y)} = \dfrac{x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}=\dfrac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}$$
Áp dụng bất đẳng thức $(x+y)(y+z)(x+z)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz)$ ta có
$$\dfrac{2(xy+yz+xz)}{(x+y)(y+z)(x+z)}\leq \dfrac{18(xy+yz+xz)}{8(x+y+z)(xy+yz+xz)}=\dfrac{9}{4(x+y+z)}$$

Quay trở lại bài toán
Không mất tính tổng quát giả sử $c\geq b\geq a$ $\Rightarrow bc\geq ac\geq ab$ (1)
Giả sử $x\leq y\leq z$ ta sẽ chứng minh $\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}\leq \dfrac{y}{(y+x)(y+z)}\leq \dfrac{z}{(z+x)(z+y)}$
Thật vậy $\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}\leq \dfrac{y}{(y+x)(y+z)}\\ \Leftrightarrow x(y+x)(y+z)\leq y(x+y)(x+z)\\ \Leftrightarrow xy+xz\leq xy+yz$
$\Rightarrow x\leq y$ (Đúng theo điều giả sử)
Tương tự ta có $\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}\leq \dfrac{y}{(y+x)(y+z)}\leq \dfrac{z}{(z+x)(z+y)}$ (2)

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy (1) (2) và kết hợp với bổ đề ta có
$$\dfrac{bcx}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{acy}{(y+x)(y+z)}+\dfrac{abz}{(x+z)(y+z)}\leq \dfrac{1}{3}(bc+ac+ab)(\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{y}{(y+z)(y+x)}+\dfrac{z}{(z+x)(z+y)})\leq \dfrac{(a+b+c)^2}{9}.\dfrac{9}{4(x+y+z)}=\dfrac{(a+b+c)^2}{4(x+y+z)}$$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ và $x=y=z$

#8
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
Dễ Thấy \[
(a + b + c)^2 \ge 3ab + 3ac + 3bc
\]
nên ta sẽ chứng minh:
\[
\begin{array}{l}
\frac{{xbc(y + z) + yac(x + z) + zab(x + y)}}{{(x + y)(y + z)(x + z)}} \le \frac{{3ab + 3ac + 3bc}}{{4(x + y + z)}} \\
\Leftrightarrow bc(4x^2 y + 4xy^2 + 4x^2 z + 4xz^2 + 8xyz) + ac(4x^2 y + 4xy^2 + 4yz^2 + 4y^2 z + 8xyz) + ab(4xz^2 + 4x^2 z + 4y^2 z + 4yz^2 + 8xyz) \\
\le (3ac + 3ab + 3bc)(xy^2 + x^2 y + x^2 z + xz^2 + yz^2 + y^2 z + 2xyz) \\
Đặt
X = 4x^2 y + 4xy^2 + 4x^2 z + 4xz^2 + 8xyz \\
Y = 4x^2 y + 4xy^2 + 4yz^2 + 4y^2 z + 8xyz \\
Z = 4xz^2 + 4x^2 z + 4y^2 z + 4yz^2 + 8xyz \\
T = xy^2 + x^2 y + x^2 z + xz^2 + yz^2 + y^2 z + 2xyz \\
\Rightarrow X + Y + Z \le 9T\\ \textrm{( Do Bất Đẳng Thức tương đương với } xy^2 + x^2 y + x^2 z + xz^2 + yz^2 + y^2 z \ge 6xyz \textrm{ : Đúng theo AM-GM)} \\
9(bcX + acY + abZ) \le (3ab + 3ac + 3bc)(X + Y + Z) \\
\Leftrightarrow ab(X + Y - 2Z) + bc(Y + Z - 2X) + ac(X + Z - 2Y) \ge 0(1) \\
m = X + Y - 2Z;n = Y + Z - 2X;p = X + Z - 2Y \\
m + n + p = 0
\end{array}\]

Khống mất tính tổng quát giả sử $b = \max \lbrace a,b,c \rbrace$
\[ \begin{array}{l}
(1) \Leftrightarrow abm + bcn + acp \ge 0 \\
\Leftrightarrow abm + bcn - acm - acn \ge 0 \\
\Leftrightarrow am(b - c) + cn(b - a) \ge 0 \\
\end{array}
\]
Đúng do $b \ge c;b \ge a$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, a=b=c
Vậy ta có điều phải chứng minh

Sai ở chỗ này


$ \Leftrightarrow am(b - c) + cn(b - a) \ge 0$


Không biết dấu của $m;n$ thì sao kết luận vậy được? Trong khi chỉ có $a(b-c) \ge 0;c(b-a)\ge 0$?
S=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 10-09-2012 - 19:50

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#9
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau.4
Toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#10
Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
Bất đẳng thức của chú Trung Hiếu không phải là mở rộng mà là hệ quả thì đúng hơn, trong khi chưa chứng minh được bài toán!! :lol:
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#11
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
ANh Đức ANh ơi em nghĩ bài này không dùng $Chebyshev$ được :) Có lẽ davildark với thanhbinh là làm sai ạ ?
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#12
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

ANh Đức ANh ơi em nghĩ bài này không dùng $Chebyshev$ được :) Có lẽ davildark với thanhbinh là làm sai ạ ?

Giờ ý tớ đó !
Bài này làm sao mà dùng $\text{Chebyshev}$ được nhỉ ???
Cần một chuyên gia trong vụ này mới được ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 10-09-2012 - 15:25

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#13
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Chỉ có thể giả thiết được 1 dãy. Cũng như bài toán ở đây

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#14
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Bài này làm sao mà dùng $\text{Chebyshev}$ được nhỉ ???

:) Cậu để ý xem.2 bài làm trên cũng như bài toán sai sau:
Cho các số thực dương $x,y,z,A,B,C$.Chứng minh rằng:
$$x.A+y.B+z.C\leq \frac{1}{3}(A+B+C)(x+y+z)$$
Và nếu làm như trên thì khi 2 bộ $A,B,C$ và $x,y,z$ đơn điệu cũng chiều mới đúng còn TH còn lại là sai!
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#15
Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
Mấy chú cứ thử $a\geq{b}\geq{c}$ và tất cả trường hợp còn lại của dãy $x$, $y$, $z$ và lập luận tương tự thì thấy ngay là sai! :mellow:
Chữ ký spam! Không cần xoá!

#16
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
các bạn chỉ rõ cách dùng chebyshev dc không? :( nguy hiểm quá mình tưởng áp dụng thế là đúng.

Hình đã gửi


#17
TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Chấm xong chắc sặc máu quá :(

Lời giải chính thức:
Đặt $m=x+y,n=y+z,k=z+x$ thì $m,n,k$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
$$
\begin{array}{l}
\eqref{3.6} \Leftrightarrow \dfrac{bc(m+k-n)}{mk}+\dfrac{ac(m+n-k)}{mn}+\dfrac{bc(n+k-m)}{nk}\leq \dfrac{(a+b+c)^2}{m+n+k}\\
\Leftrightarrow \dfrac{bc(m^2+k^2-n^2+2mk)}{mk}+\dfrac{ac(m^2+n^2-k^2+2mn)}{mn}+\dfrac{bc(n^2+k^2-m^2+2nk)}{nk}\leq (a+b+c)^2\\
\Leftrightarrow \dfrac{bc(m^2+k^2-n^2)}{mk}+\dfrac{ac(m^2+n^2-k^2)}{mn}+\dfrac{bc(n^2+k^2-m^2)}{nk}\leq a^2+b^2+c^2 \hfill \quad (*)
\end{array}
$$
Nhưng mặt khác do $m,n,k$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên (*) có thể viết lại thành:
\begin{equation}
\label{3.1.1}
2bc\cos \widehat{N}+2ac\cos \widehat{K}+2ab\cos \widehat{M}\leq a^2+b^2+c^2
\end{equation}
Trong đó: $\widehat{M},\widehat{N},\widehat{P}$ là 3 góc của $\vartriangle MNP$ nhận $m,n,p$ thứ tự là cạnh đối diện tương ứng.
Và \eqref{3.1.1} là bất đẳng thức lượng giác quen thuộc nên ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 10-09-2012 - 18:33

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#18
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
Thực ra BĐT này đã có trên diễn đàn nhưng..chưa ai giải:http://diendantoanho...yz/#entry318536

Hình đã gửi


#19
tinhyeutuoitre

tinhyeutuoitre

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết

Thực ra BĐT này đã có trên diễn đàn nhưng..chưa ai giải:http://diendantoanho...yz/#entry318536

có người giải rồi !
TÌNH YÊU TOÁN CŨNG ĐẾN TỪ TRÁI TIM

#20
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Điểm ra đề: D = 4x0 + 2x30 + 0 = 60

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh