Chủ đề này có 5 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Xác định CTTQ của dãy $\{u_{n} \}$ được cho bởi biểu thức:
$$u_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{2n}{x}dx;\forall n \in \mathbb{N}$$

[Crystal]

Bài toán: Xác định CTTQ của dãy $\{u_{n} \}$ được cho bởi biểu thức:
$$u_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{2n}{x}dx;\forall n \in \mathbb{N}$$

Niêm phong bài này. Chờ ngày ...

[Ispectorgadget]

Bài toán: Xác định CTTQ của dãy $\{u_{n} \}$ được cho bởi biểu thức:
$$u_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{2n}{x}dx;\forall n \in \mathbb{N}$$

Bài này sao sao ấy....
$$u_n=\int _0^{\frac{\pi}{4}}(tan x)^{2n-2}(1+tan^2x)-(tan x)^{2n-4}(1+tan^2x)+(tan x)^{2n-6}(1+tan^2x)-(tan x)^{2n-8}(1+tan^2x)+...+(-1)^{n-1}(tan x)^0(tan^2x+1)+(-1)^n]dx$$
$$=\int_0^{\frac{\pi}{4}}[(tan x)^{2n-2}-(tan x)^{2n-4}+(tanx)^{2n-6}-...+(-1)^{n-1}(tan x)^0]d(tan x)+(-1)^n \int_0^{\frac{\pi}{4}}dx$$
$$=[\frac{(tan x)^{2n-1}}{2n-1}-\frac{(tan x)^{2n-3}}{2n-3}+\frac{(tan x)^{2n-5}}{2n-5}-...+(-1)^{n-1}\frac{tan x}{1}+(-1)^n x]\bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} +(-1)^n\frac{\pi}{4}=...$$

[dark templar]

Bài này em nên tìm mối liên hệ giữa $u_{n}$ và $u_{n-1}$,có thể dính đến chuỗi số

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Mình mới nghĩ ra công thức truy hồi thôi , còn giới hạn thì chưa biết tính ^^ . 

Với $ n \in \mathbb{N}^{+} $ , đặt $u_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2n}xdx $ 

Xét $I_n = \int \tan^{2n}xdx $ 

Ta có : 

$I_{n+1} = \int \tan^{2n+2}xdx=\int (\frac{1}{\cos^2 x}-1)\tan^{2n}xdx=\int \tan^{2n}xd(\tan x ) - I_n = \frac{\tan^{2n+1}x}{2n+1} - I_n$ 

Cho các cận vào thì suy ra : 

$u_{n+1} = \frac{1}{2n+1} - u_n $ 

$u_1 = 1- \frac{\pi}{4}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 08-04-2013 - 22:19

[dark templar]

Đáp số: $\boxed{u_{n}=(-1)^{n}\left[\frac{\pi}{4}+\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{2k-1} \right]}$

 

@Pronoob: Mình có yêu cầu  đi tìm giới hạn đâu...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-04-2013 - 19:02