Chủ đề này có 1 trả lời

[manucian96]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A\sin ^{2}x+B\sin x\cos x+C\cos ^{2}x$ (A,B,C là hằng số).

[nthoangcute]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A\sin ^{2}x+B\sin x\cos x+C\cos ^{2}x$ (A,B,C là hằng số).

Cách lớp 10: (có thể nói là siêu dài)
Ta có thể viết lại đề bài như sau: Tìm Min, Max của $k=a x^2+b x y+cy^2$ với $x^2+y^2=1$
Do đó $a (1-y^2)+bxy+cy^2-k=0$ hay $x=\frac{-a+ay^2-cy^2+k}{by}$
Do $x^2+y^2=1$ nên $a^2-2a^2y^2+2acy^2-2ak+a^2y^4-2ay^4c+2ay^2k+c^2y^4-2cy^2k+k^2+y^4b^2-b^2y^2=0$
Hay $(a^2-2ac+b^2+c^2)y^4+(2ac-2ck-2a^2+2ak-b^2)y^2+a^2+k^2-2ak=0$
Do $0 \leq y^2 \leq 1$

Trường hợp $y^2 \geq 0$
+Nếu $a^2-2ac+b^2+c^2=0$ thì ...
+Nếu $a^2-2ac+b^2+c^2>0$ suy ra $2ac-2ck-2a^2+2ak-b^2<0$ và $a^2+k^2-2ak>0$ và $\Delta \geq 0$
Suy ra ...

Trường hợp $y^2 \leq 1$

Đặt $y^2=1-t$ với $t \geq 0$
Khi đó $(a^2-2ac+b^2+c^2)t^2+(2ac+2ck-2ak-b^2-2c^2)t+c^2+k^2-2ck = 0$
+Nếu $a^2-2ac+b^2+c^2=0$ thì ...
+Nếu $a^2-2ac+b^2+c^2>0$ suy ra $2ac+2ck-2ak-b^2-2c^2<0$ và $c^2+k^2-2ck>0$ và $\Delta \geq 0$
Suy ra ...
___________________
Kết hợp lại ta được kết quả