Đến nội dung

Hình ảnh

max, min p= $a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
thaptam

thaptam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
Cho 3 số a,b,c thoả mãn $0 \leq a,b,c \leq 2$ và $a+b+c=3$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhât của:

P=$a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c)$

#2
bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
Bài toán này rất thú vị!! Mình có lời giải như sau là quy về một biến dành cho bài toán này:
Trước hết là Min. Giả sử $ c \ge 1 $ nên $ 1-c \le 0 $ và sử dụng đánh giá $ a^4+b^4 \ge \frac{(a+b)^4}{8}=\frac{(3-c)^4}{8} $
Từ đó ta có đánh giá sau:
$ a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \ge \frac{(3-c)^4}{8}+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \ge \frac{(3-c)^4}{8}+c^4+3(2-a-b)^2(1-c)= \frac{(3-c)^4}{8}+c^4+3(c-1)^2(1-c) $. Bằng việc khảo sát $ f(c.) $ với $ c \in [0,1] $ ta nhận được giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3.
Kế đến là Max! Trong ba số $ a, b, c $ luôn có hai số cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1!! Giả sử đó là a và b! Từ đó ta có được bất đẳng thức sau đây $ a^4+b^4 \le (a+b-1)^4+1=(2-c)^4+1 $. Xét 2 trường hợp nhỏ là $ c \ge 1 $ và $ c \le 1 $. Nếu $ c \ge 1 $ thì $ 12(1-a)(1-b)(1-c) \le 0 $ Do đó:
$ a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \le (a+b-1)^4+1+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \le =(2-c)^4+c^4+1 $
Khảo sát $ f(c.) $ trên [1,2] ta thu được $ Maxf(c.)=17 $. Trường hợp $ c \le 1$
Theo AM-GM và một đánh giá đơn giản ta có:
$ a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c) \le (a+b-1)^4+1+c^4+3(1-c)[2-a-b]^2 \le (2-c)^4+c^4+1+3(1-c)[3-a-b]^2= (2-c)^4+c^4+1+3(1-c)c^2 $ Khảo sát $ f(c.) $ trên [0,1] ta cũng thu được Max=17.
Với Min=3 đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c=1 $ còn Max=17 đẳng thức xảy ra khi $ a=2, b=1, c=0 $


#3
bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết

Cho 3 số a,b,c thoả mãn $0 \leq a,b,c \leq 2$ và $a+b+c=3$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhât của:

P=$a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c)$

Nếu thi đại học thì mình nghĩ chỉ cho bậc 2 thôi!! Còn bậc 4 phức tạp và hơi nhiều tính toán!! Hy vọng bạn thích!!

#4
lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
Lật lại bài này

Đặt $a-1=x;b-1=y;c-1=z$. Ta có $x+y+z=0$ và $x,y,z\in \left [ -1;1 \right ]$.
$P=\left ( x+1 \right )^{4}+\left ( y+1 \right )^{4}+\left ( z+1 \right )^{4}-12xyz=\sum x^{4}+4\sum x^{3}+6\sum x^{2}+4\sum x-12xyz+3=\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )+6\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )+3\geq 3$
Việc còn lại là tìm $max$.
Ta chứng minh BĐT phụ sau $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 2$.

#5
Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Cho 3 số a,b,c thoả mãn $0 \leq a,b,c \leq 2$ và $a+b+c=3$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhât của:

P=$a^4+b^4+c^4+12(1-a)(1-b)(1-c)$

Đây là bài cuối của vòng 1 thì vào THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 thì phải, cách giải là đặt $X=x-1,Y=y-1,Z=z-1$

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh