Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh : $u_n = \frac{ x - f(n)}{F(n)}$ đơn điệu nghiêm ngặt và hội tụ.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1575 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 12-09-2012 - 13:20

Cho hàm $f : \left ( 0 ; \infty \right ) \to \left ( 0 ; \infty \right )$ là hàm số giảm và khả vi trên $\left ( 0 ; \infty \right )$; $ F$ là nguyên hàm của $f$. Đồng thời $f$ thoả mãn $3$ điều kiện sau :

1/ $\lim_{n\to +\infty}\left ( \frac{f(n+1)}{f(n)} \right ) = 1$
2/ $\lim_{n\to +\infty}F(n)=0$
3/ Hàm $ \frac{f^{'}}{f}$ tăng trên $\left ( 0 ; \infty \right )$

Chứng minh các khẳng định sau :

a/ Dãy $(x_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi : $ x_n = f(1) + f(2) +...f(n)$ hội tụ về một số thực $x$ nào đó.
b/ Dãy $(u_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi: $ u_n = \frac{ x - x_n}{F(n)}$ đơn điệu nghiêm ngặt và hội tụ. Tìm giới hạn của nó .

Bài này ai giải đúng ; mình sẽ có 1 phần thưởng nhỏ :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-05-2014 - 16:39

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 618 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2014 - 20:54

Câu a chính là dấu hiệu tích phân, chỉ có điều chú ý là $\lim_{x \rightarrow \infty} \int_{1}^{x}f(t)dt$ hữu hạn có thể thay bằng $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{1}^{n}f(t)dt$ hữu hạn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 16-05-2014 - 20:55


#3 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 618 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-05-2014 - 22:23

Câu b nghĩ khá lâu mới ra phần hội tụ còn đơn điệu thì chịu, có lẽ dụng ý của tác giả là sự chuyển đổi giữa hàm số và dãy số trong một số trường hợp, trước hết ta cần bổ đề sau:

Bổ đề: Cho $f: (0, +\infty) \rightarrow Y$ là một hàm đơn điệu, $\lim_{n \rightarrow +\infty} f(n)=a$ hữu hạn thì $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=a$

Chứng mình Ta chứng minh cho trường hợp $f$ đơn điệu tăng. Giả sử $f$ đơn điệu tăng và thỏa mãn các điều kiện của bổ đề. Ta có $a$ là một cận trên của $f$, bởi nếu không thì tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0)>a$. Do $f$ đơn điệu tăng nên $f([x_0]+1) \geq f(x_0)>a$. Đây là điều mâu thuẫn vì từ giả thiết, ta phải có $a=\sup{f(n)}$. Như vậy $a$ là một cận trên của $f$. Xét ${x_n} \subset (0, +\infty)$ là một dãy bất kì thỏa mãn $\lim x_n=+\infty$. Cho trước $\epsilon >0$, do $\lim f(n)=+\infty$ nên tồn tại $N$ sao cho với mọi $n \geq N$: $a-f(n)<\epsilon$. Do $\lim x_m=+\infty$ nên tồn tại $n_0$ sao cho với mọi $m \geq n_0$: $x_m \geq N$. Như vậy, với mọi $m \geq n_0$, $|f(x_m)-a|=a-f(x_m) \leq a-f(N)<\epsilon$. Từ đó ta có $\lim f(x_n)=a$, ta có đpcm.

 

Ta tìm giới hạn ở phần b. do $f$ giảm nên và điều kiện 2, ta có

$$...+\int_{n+1}^{n+2}f(t)dt + \int_{n}^{n+1}f(t)dt \geq x-x_n=f(n+1)+f(n+2)+... \geq \int_{n+1}^{n+2}f(t)dt+\int_{n+2}^{n+3}+... \Leftrightarrow -F(n) \geq x-x_n \geq -F(n+1)$$.

Từ đó ta có $-1 \leq \frac{x-x_n}{F(n)} \leq \frac{-F(n+1)}{F(n)}$(4). Từ điều kiện 3, ta có được $\frac{f(x+1)}{f(x)})$ là hàm đơn điệu, kết hợp với điều kiện 1 thì theo bổ đề trên $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=1$. Do $f$ dương nên $F$ đơn điệu. Từ điều kiện 2 áp dụng bổ đề trên lần nữa ta được $\lim_{x \rightarrow +\infty} F(x)=0$. Từ đó theo quy tắc L'Hospital, ta được $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{F(x+1)}{F(x)}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=1$. Trương hợp riêng, ta có $\lim \frac{F(n+1)}{F(n)}=1$. Kết hợp với (4), theo nguyên lý kẹp ta có $\lim \frac{x-x_n}{F(n)}=-1$ 

 

Bài này có vẻ không được hữu dụng vào thực hành lắm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 18-05-2014 - 22:29


#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 19-05-2014 - 08:44

Cho hàm $f : \left ( 0 ; \infty \right ) \to \left ( 0 ; \infty \right )$ là hàm số giảm và khả vi trên $\left ( 0 ; \infty \right )$; $ F$ là nguyên hàm của $f$. Đồng thời $f$ thoả mãn $3$ điều kiện sau :

1/ $\lim_{n\to +\infty}\left ( \frac{f(n+1)}{f(n)} \right ) = 1$
2/ $\lim_{n\to +\infty}F(n)=0$
3/ Hàm $ \frac{f^{'}}{f}$ tăng trên $\left ( 0 ; \infty \right )$

Chứng minh các khẳng định sau :

a/ Dãy $(x_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi : $ x_n = f(1) + f(2) +...f(n)$ hội tụ về một số thực $x$ nào đó.
b/ Dãy $(u_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi: $ u_n = \frac{ x - x_n}{F(n)}$ đơn điệu nghiêm ngặt và hội tụ. Tìm giới hạn của nó .

Bài này ai giải đúng ; mình sẽ có 1 phần thưởng nhỏ :)

Xin thay ký hiệu $x$ trong đề bài bằng $X$ để tránh nhầm lẫn về mặt ký hiệu (sự thay đổi này không ảnh hưởng đến nội dung bài toán)

 

Hàm $f$ khả vi trên $\left ( 0;+\infty \right )$ do đó trên $\left ( 0;+\infty \right )$, hàm $f$ có đạo hàm và liên tục.

 

$a)$

$f(n)> 0,\forall n\Rightarrow (x_{n})$ là dãy tăng.

Trên $\left ( 0;+\infty \right )$, hàm $f$ giảm và liên tục nên ta có :

$f(2)< \int_{1}^{2}f(x)dx$

$f(3)< \int_{2}^{3}f(x)dx$

........................................

$f(n)< \int_{n-1}^{n}f(x)dx$

Suy ra $x_{n}< f(1)+\int_{1}^{n}f(x)dx=f(1)+F(n)-F(1)$

Vì $f(x)$ liên tục và đơn điệu giảm, và $f(n)> 0,\forall n\Rightarrow f(x)> 0,\forall x> 0\Rightarrow F(n)$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow F(n)<\lim_{n\to+\infty}F(n)=0,\forall n$

Do đó ta có $x_{n}<f(1)+F(n)-F(1)<f(1)-F(1),\forall n$ (dãy $(x_{n})$ bị chặn trên)

Chú ý $f(1)-F(1)> 0$ (vì $f(1)> 0$ ; $F(1)< 0$)

Dãy $(x_{n})$ tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn, tức là nó hội tụ.Giả sử nó hội tụ tại $X$ ($X> 0$), ta có

$X=\lim x_{n}<f(1)-F(1)$ (vì $\lim_{n\to+\infty}F(n)=0$)

Vậy dãy $(x_{n})$ hội tụ về số thực $X$ (với $0<X<f(1)-F(1)$)

 

$b)$

Trước tiên nhận xét rằng $u_{n}< 0,\forall n$ (vì $F(n)< 0,\forall n$ như lập luận ở trên)

Và $f'(x)< 0,\forall x>0$ (vì hàm $f$ giảm trên $(0;+\infty)$) nên 

Hàm $\frac{f'}{f}$ tăng trên $(0;+\infty)$ $\Rightarrow \frac{f(n+1)-f(n)}{f(n)}$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{f(n)}$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{f(n)+f(n+1)}$ tăng khi $n$ tăng (1)

Ta gọi $T_{n}$ là hình thang cong giới hạn bởi các đường $x=n$ ; $x=n+1$ ; $y=f(x)$ ; $y=0$

$\Rightarrow S(T_{n})\approx \frac{f(n)+f(n+1)}{2}$

(1) $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{S(T_{n})}$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{S(T_{n})}< \frac{f(n+2)}{S(T_{n+1})}< \frac{f(n+3)}{S(T_{n+2})}< ...$ (2)

$\left | u_{n} \right |=\frac{X-x_{n}}{-F(n)}=\frac{f(n+1)+f(n+2)+...}{\left [ F(n+1)-F(n) \right ]+\left [ F(n+2)-F(n+1) \right ]+...}=\frac{f(n+1)+f(n+2)+...}{S(T_{n})+S(T_{n+1})+...}$ (3)

(tử và mẫu đều là tổng vô hạn.Mẫu có thể viết như thế vì $\lim_{n\to+\infty}F(n)=0$)

Tương tự $\left | u_{n+1} \right |=\frac{f(n+2)+f(n+3)+...}{S(T_{n+1})+S(T_{n+2})+...}$ (4)

(2),(3),(4) $\Rightarrow \left | u_{n} \right |< \left | u_{n+1} \right |,\forall n$

Vì $u_{n}< 0,\forall n$ nên suy ra dãy $(u_{n})$ giảm nghiêm ngặt.

 

Theo lập luận trên, khi $n$ tiến đến vô cùng thì hình thang cong $T(n)$ trở thành hình chữ nhật $C$ có một chiều bằng $1$, chiều kia bằng $f(n+1)$ (vì khi đó $f(n)-f(n+1)\rightarrow 0$) nên $S(C)=f(n+1)$.Ta có :

$\lim \left | u_{n} \right |=\lim\frac{f(n+1)}{S(C)}=\lim\frac{f(n+1)}{f(n+1).1}=1$

Mà $u_{n}< 0,\forall n$ nên suy ra dãy $(u_{n})$ hội tụ về $-1$, tức là $\lim u_{n}=-1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-05-2014 - 20:51

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 618 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-05-2014 - 20:47

Các lập luận của bạn nghe rất ngô nghê, từ 1 không thể suy ra 2 được. Cái đó còn chấp nhận được vì bạn thể hiện trực giác rất tốt và ở trình độ phổ thông thì cũng không sao. Tuy nhiên cái lập luận cuối của bạn là không thể chấp nhận được. Ai có chút hiểu biết về giới hạn đều có thể thấy bạn làm quá ma giáo. Không hiểu bạn đang vô tình hay cố ý làm như vậy.



#6 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 19-05-2014 - 21:19

Các lập luận của bạn nghe rất ngô nghê, từ 1 không thể suy ra 2 được. Cái đó còn chấp nhận được vì bạn thể hiện trực giác rất tốt và ở trình độ phổ thông thì cũng không sao. Tuy nhiên cái lập luận cuối của bạn là không thể chấp nhận được. Ai có chút hiểu biết về giới hạn đều có thể thấy bạn làm quá ma giáo. Không hiểu bạn đang vô tình hay cố ý làm như vậy.

Cái gì mà "ma giáo" ở đây chứ !

Bạn có thừa nhận rằng khi một hình thang cong chuyển dần thành một hình chữ nhật (mà không thay đổi chiều cao) thì tỷ số giữa đáy nhỏ và diện tích sẽ tiến đến "nghịch đảo chiều cao" của nó, đúng không ?

Ngay cả khi trường hợp đáy lớn và đáy nhỏ đều tiến đến $0$, tôi tạm ký hiệu là $\epsilon (n)$ (còn chiều cao $h=1$ thì ta vẫn có :

$\lim_{\epsilon (n)\to0}\frac{\epsilon (n)}{\epsilon (n).h}=\frac{1}{h}=1$

(Đây chính là trường hợp khử dạng vô định $\frac{0}{0}$.Sao lại không được ?)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-05-2014 - 23:16

...

$b)$

Trước tiên nhận xét rằng $u_{n}< 0,\forall n$ (vì $F(n)< 0,\forall n$ như lập luận ở trên)

Và $f'(x)< 0,\forall x>0$ (vì hàm $f$ giảm trên $(0;+\infty)$) nên 

Hàm $\frac{f'}{f}$ tăng trên $(0;+\infty)$ $\Rightarrow \frac{f(n+1)-f(n)}{f(n)}$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{f(n)}$ tăng khi $n$ tăng $\Rightarrow \frac{f(n+1)}{f(n)+f(n+1)}$ tăng khi $n$ tăng (1)

 

Rất nhiều lập luận của bạn thực sự có vấn đề! Ví dụ ở đoạn trên

Hàm $\dfrac{f'}{f}$ hay $\dfrac{df}{f(x)dx}$ tăng 

Nhưng vế tiếp theo là $\dfrac{f(n+1)-f(n)}{f(n)}=\dfrac{\Delta(f(n))}{f(n)\Delta(n)}$ tăng thì chưa chắc đã đúng, mà cho dù có đúng thì bạn phải chứng minh nó như là một bổ đề.

Tiếp theo cái $S(T_n)$ mà bạn xấp xỉ nó không thể giúp bạn chứng minh được cái $\dfrac{f(n+1)}{S(T_n)}$ tăng được!?

(Nghe như kiểu: "3 lớn hơn 2,9 mà 2,8 xấp xỉ 3 nên 2,8 lớn hơn 2,9")

 

Đoạn tiếp theo bạn chứng minh $|u_n|$ giảm mới thật sự khiến người đọc thấy không đáng tin cậy

$|u_n|$ bạn biểu diễn nó ở dạng $\frac{\text{tổng vô hạn}}{\text{tổng vô hạn}}$ rồi bạn so sánh nó với $|u_{n+1}|$ cũng ở dạng đó bằng cách nào? Chắc gì tổng trên tử số đã hội tụ? Nếu có hội tụ bạn cũng cần phải giải thích

Dù là nhân chéo hay dùng bất đẳng thức thì đều khiến người đọc cảm thấy không đáng tin cậy.


Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh