Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN \[ {x^4 + y^4 } \]

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
baybay1

baybay1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
Bài 1) Cho x + y = 1. Tính GTNN của: \[M=x^4 + y^4 \]
Bài 2) Tìm GTNN của: \[ N=\frac{{x^2 + y^2 }}{{x^2 + 2xy + y^2 }} \]

#2
thanh131211

thanh131211

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết

Bài 1) Cho x + y = 1. Tính GTNN của: \[M=x^4 + y^4 \]
Bài 2) Tìm GTNN của: \[ N=\frac{{x^2 + y^2 }}{{x^2 + 2xy + y^2 }} \]

1. bài này giải quyết thế này nhé!
\[\begin{array}{l}
{(x + (1 - x))^2} \le 2({x^2} + {(1 - x)^2}) \le 2\sqrt {2({x^4} + {{(1 - x)}^4})} \\
\Rightarrow {x^4} + {(1 - x)^4} \ge \frac{1}{8} \\
\end{array}\]
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1/2
2. bài này giải như sau:
\[\begin{array}{l}
{x^2} + 2xy + {y^2} = {(x + y)^2} \le 2({x^2} + {y^2}) \\
\Rightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} \ge \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2({x^2} + {y^2})}} = \frac{1}{2} \\
\end{array}\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y

#3
baybay1

baybay1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
1. vì sao
$(x + (1 - x))^2 \le 2(x^2 + (1 - x)^2 ) \le 2\sqrt {2(x^4 + (1 - x)^4 )} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baybay1: 14-09-2012 - 17:40


#4
Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết

1. vì sao
$(x + (1 - x))^2 \le 2(x^2 + (1 - x)^2 ) \le 2\sqrt {2(x^4 + (1 - x)^4 )} $

Đây là áp dụng BĐT Bunhiakosky cho 2 bộ số: $(ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) $ với mọi a, b, x, y. Bạn có thể c/m BĐT này bằng PP biến đổi tương đương với kiến thức Đại số 8.

#5
yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết

Bài 1) Cho x + y = 1. Tính GTNN của: \[M=x^4 + y^4 \]
Bài 2) Tìm GTNN của: \[ N=\frac{{x^2 + y^2 }}{{x^2 + 2xy + y^2 }} \]

1)$x^{4}+y^{4}\geq \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2};x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}\Rightarrow x^{4}+y^{4}\geq \frac{(x+y)^{4}}{8}=\frac{1}{8}$

$MinM=\frac{1}{8}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

2)ta có: $\frac{x^{2}+y^{2}}{(x+y)^{2}}\geq \frac{x^{2}+y^{2}}{2(x^{2}+y^{2})}=\frac{1}{2}$

$MinN=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y$


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#6
vipboycodon

vipboycodon

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

1) $x^4+y^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2} \ge \dfrac{[\dfrac{(x+y)^2}{2}]^2}{2} = \dfrac{1}{8}$

Min $M = \dfrac{1}{8}$ khi $x = y = \dfrac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 19-01-2014 - 21:57





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh