Cho $a,b>0$. CMR:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge 32\frac{a^2+b^2}{(a+b)^4}$$
Cho $a,b>0$. CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge 32\frac{a^2+b^2}{(a+b)^4}$
Bắt đầu bởi Katyusha, 17-09-2012 - 21:16
#1
Đã gửi 17-09-2012 - 21:16
- WhjteShadow yêu thích
#2
Đã gửi 17-09-2012 - 21:50
Bằng những phép biến đổi tương đương đơn giản ta có:Cho $a,b>0$. CMR:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge 32\frac{a^2+b^2}{(a+b)^4}$$
$$Q.e.D\Leftrightarrow (a-b)^4.\frac{a^4+8a^3b+6a^2b^2+8ab^3+b^4}{a^2b^2(a^2+b^2)(a+b)^4}\geq 0$$
Vậy ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra tại $a=b$ $\square$
- Katyusha, yeutoan11, BlackSelena và 1 người khác yêu thích
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
#3
Đã gửi 17-09-2012 - 22:07
Lời giải của WhjteShadow rất thú vị, nhưng không phải ai cũng nghĩ ra nếu không biết được sự thật!!!!
Bằng AM-GM ta có: $ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge \sqrt{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})(\frac{4}{a^2+b^2})}=\frac{4}{ab}$
ta sẽ chứng minh
$(a+b)^4 \ge 4ab(a^2+b^2)$ hay là: $(a-b)^4 \ge 0$
Bằng AM-GM ta có: $ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge \sqrt{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})(\frac{4}{a^2+b^2})}=\frac{4}{ab}$
ta sẽ chứng minh
$(a+b)^4 \ge 4ab(a^2+b^2)$ hay là: $(a-b)^4 \ge 0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 19-09-2012 - 18:32
- Katyusha và WhjteShadow thích
#4
Đã gửi 19-09-2012 - 18:17
Kinh vậyNhưng không phải ai cũng nghĩ ra!!
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
#5
Đã gửi 19-09-2012 - 18:31
Sax!! Tui nói lời giải của WhjteShadow mà! Đâu phải của tui đâu!! Để Edit lại cho an toàn!!Kinh vậy
#6
Đã gửi 19-09-2012 - 23:07
Ok sorry
<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.
.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh