Chủ đề này có 3 trả lời

[bdtilove]

Cho $ a, b, c \ge 0 $ thỏa mãn: $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{a^2+2b}+\sqrt{b^2+2c}+\sqrt{c^2+2a} \ge 3\sqrt{3} $

[WhjteShadow]

Cho $ a, b, c \ge 0 $ thỏa mãn: $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$ \sqrt{a^2+2b}+\sqrt{b^2+2c}+\sqrt{c^2+2a} \ge 3\sqrt{3} $

Đặt $a=3x,b=3y,c=3z$ thì $x,y,z\geq 0$ và $x+y+z=1$.Viết lại ĐPCM thành:
$$\sqrt{3x^2+2y}+\sqrt{3y^2+2z}+\sqrt{3z^2+2x}\geq 3$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$3\sqrt{3x^2+2y}=\sqrt{[x^2+2(x^2+y)](1+8)}\geq x+4\sqrt{x^2+y}$$
Tương tự và cộng lại,để ý $x+y+z=1$ thì ta chỉ phải chứng minh:
$$\sqrt{x^2+y}+\sqrt{y^2+z}+\sqrt{z^2+x}\ge 2$$
Tèn ten lại ra bài toán quen thuộc này:
http://diendantoanho...t2/#entry353915

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-09-2012 - 20:02

[Joker9999]

Gộp 2 bài vào hơi dài , mình lại có cách khác ngắn hơn xíu
--------------------------------------
Và mình lại phải nhắc nhở bạn trình bày hẳn ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 20-09-2012 - 19:40

[Joker9999]

Trước hết có bổ đề: a,b,c,d dương nếu a+b=c+d và \[
\left| {a - b} \right| \le \left| {c - d} \right|
\] . Áp dụng vào ta có:

\[
\sqrt {a^2 + 2b} + \sqrt {c^2 + 2a} \ge \sqrt {a^2 + 2c} + \sqrt {c^2 - 4c + 6}
\] Giả sử c=max{a,b,c}.c \[
\ge
\]
1
Khi đó: theo BDT mincoski:VT\[
\begin{array}{l}
\ge \sqrt {(b + a)^2 + 8c^2 } + \sqrt {c^2 - 4c + 6} = \sqrt {9c^2 - 6c + 9} + \sqrt {c^2 - 4c + 6} \\
= \sqrt {(3c - 1)^2 + 8} + \sqrt {(2 - c)^2 + 2} \ge \sqrt {(2c + 1)^2 + 18} \ge 3\sqrt 3 \\
\end{array}
\]. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.
Vậy ta có đpcm.