Bài 1: Cho $x,y,z\epsilon \left [ 1,2 \right ] CMR: \left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 6(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})$
Bài 2:Cho a,b,c>0.CM:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b})$
ặc ai vào viết hộ em chữ $ vào cuối tiêu đề vs quên mất
củ tỏi thật nhnf đề này lại nhớ đến lần mình bị mắng vì không làm được bổ đề cơ bản của nó,mình xin giải bài 2
Bổ đề ,với a,b,c thực dương ,ta có BĐT sau
$\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}\geq 4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$
(chứng minh bổ đề trên khá đơn giản bằng nhận xét theo AM-GM sau
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$(hình như cũng có ở box THCS rồi ,bạn tham khảo lời giải chi tiết ở đó nhé)
trở lại bài toán ,GS $a\geq b\geq c\Rightarrow \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq\frac{1}{a+b}$
tư tưởng của chúng ta sẽ là dùng chebyshev
$4\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{1}{3}(a+b+c).4(\sum \frac{1}{b+c})$
ta chứng minh BDT yếu hơn là
$\frac{3.\sum \frac{b+c}{a}}{a+b+c}\geq 4(\sum \frac{1}{b+c})$
chú ý alaf theo AM-GM thì $\sum \frac{b+c}{a}\geq 6\Rightarrow 2\sum \frac{b+c}{a}-3\geq 9$
vế trái của BDT lúc này sẽ lớn hơn $\frac{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9}{a+b+c}\geq 4\sum \frac{1}{b+c}$
đây chính là DPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-09-2012 - 18:46