GHPT:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}=n & \\ \sqrt{x_1+b^2-1}+\sqrt{x_2+b^2-1}+...+\sqrt{x_n+b^2-1}=bn(b>1) & \end{matrix}\right.$
#1
Đã gửi 23-09-2012 - 08:13
minhdat881439
-
- Thành viên
-
- 473 Bài viết
Sĩ quan
Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng
Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF
#2
Đã gửi 26-09-2012 - 11:23
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
Hệ tương đương :
$$\left\{\begin{array}{1}\sum \dfrac{x_1-1}{\sqrt{x_1}+1} =0 \\ \sum \dfrac{(x_1-1)(\sqrt{x_1}+1)}{(\sqrt{x_1}+1)(\sqrt{x_1+b^2-1}+b)} =0 \end{array}\right.$$
Giả sử, $x_1 \ge x_2 \ge ...\ge x_n$ suy ra :
1. $x_1-1\ge x_2 -1 \ge ...\ge x_n -1$
2. Xét hàm $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+b^2-1}+b}, f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x+b^2-1}+b}{\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+b^2-1}}}{2(\sqrt{x+b^2-1}+b)^2} >0$ với $b>1$ nên hàm đồng biến. Do đó, theo Chebyshev, ta có :
$$n\left (\sum \dfrac{(x_1-1)(\sqrt{x_1}+1)}{(\sqrt{x_1}+1)(\sqrt{x_1+b^2-1}+b)}\right ) \ge \sum \dfrac{x_1-1}{\sqrt{x_1}+1} \sum \dfrac{\sqrt{x_1}+1}{\sqrt{x_1+b^2-1}+b}=0$$ Nên $x_1 =x_2 = ... = x_n = 1$
$$\left\{\begin{array}{1}\sum \dfrac{x_1-1}{\sqrt{x_1}+1} =0 \\ \sum \dfrac{(x_1-1)(\sqrt{x_1}+1)}{(\sqrt{x_1}+1)(\sqrt{x_1+b^2-1}+b)} =0 \end{array}\right.$$
Giả sử, $x_1 \ge x_2 \ge ...\ge x_n$ suy ra :
1. $x_1-1\ge x_2 -1 \ge ...\ge x_n -1$
2. Xét hàm $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+b^2-1}+b}, f'(x) = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x+b^2-1}+b}{\sqrt{x}}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x+b^2-1}}}{2(\sqrt{x+b^2-1}+b)^2} >0$ với $b>1$ nên hàm đồng biến. Do đó, theo Chebyshev, ta có :
$$n\left (\sum \dfrac{(x_1-1)(\sqrt{x_1}+1)}{(\sqrt{x_1}+1)(\sqrt{x_1+b^2-1}+b)}\right ) \ge \sum \dfrac{x_1-1}{\sqrt{x_1}+1} \sum \dfrac{\sqrt{x_1}+1}{\sqrt{x_1+b^2-1}+b}=0$$ Nên $x_1 =x_2 = ... = x_n = 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 28-09-2012 - 05:04
- HÀ QUỐC ĐẠT, L Lawliet, linhangel và 2 người khác yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
