Chủ đề này có 3 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Topic này dùng để BTC nhận đề thi từ các toán thủ thi đấu.

Điều 3. Phương thức thi đấu, cách tính điểm:
a. Phương thức thi đấu:
- Trước mỗi trận, các toán thủ nộp đề cho BTC, BTC chọn 1 đề thi đấu. Đề thi được chọn là của toán thủ nào thì toán thủ đó gọi là toán thủ ra đề.Toán thủ ra đề không phải làm bài. (BTC đảm bảo nguyên tắc mỗi toán thủ chỉ được chọn đề nhiều nhất 1 lần). Toán thủ đã được chọn đề 1 lần thì những trận sau đó không cần phải nộp đề nữa.
- Trong trường hợp đến hết ngày thứ Tư hàng tuần mà không có toán thủ nào nộp đề, BTC sẽ chỉ định toán thủ có SBD nhỏ nhất (chưa có đề được chọn) phải ra đề.
...

b. Cách tính điểm
...

+ Nếu ra đề sai, đề không đúng chủ đề định sẵn, đề vượt quá cấp học hoặc không giải được đề mình ra, toán thủ ra đề được −30 điểm.
+ Nếu đến lượt mà không ra đề được −20 điểm.
+ Ra đề mà không post đáp án đúng thời gian được −10 điểm
...

Điều 6. Quy định đề bài:
a. Nội dung:
- Mỗi bộ đề bao gồm 1 câu không copy nguyên văn từ đề thi Olympic quốc gia trở lên.
b. Hình thức:
- Đề bài được gõ Latex rõ ràng.

BTC yêu cầu các toán thủ nộp đề về Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Đề cần nộp cùng đáp án

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi đánh máy là đề đã được lưu, BTC đã nhận được đề của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể biết trước đề của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

[NGOCTIEN_A1_DQH]

MHS 09 - NGOCTIEN_A1_DQH nộp đề:

đề bài:

cho số thực $ a >1 $. biện luận theo $ a $ số nghiệm của phương trình:

$$ \sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4}$$ (1)

lời giải:

tập xác định: $ \mathbb{D}=[a^6;+\infty]$

$ (1) \Leftrightarrow \frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4}- \sqrt{x-a^6}$

thực hiện phép nhân liên hợp cho 2 căn đầu bên vế trái ta có:

$ \Leftrightarrow \frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^6}+\sqrt{x-a^4}} $

vì $ a>1 $ nên phương trình trở thành:

$ \sqrt{x-a^6}+\sqrt{x-a^4}-\sqrt{x-a^2}=0 $

xét hàm số $ f(x)=\sqrt{x-a^6}+\sqrt{x-a^4}-\sqrt{x-a^2} $ với $ x \geq a^6 $ ta có:

$ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-a^6}}+\frac{1}{2\sqrt{1-a^4}}-\frac{1}{2\sqrt{1-a^2}} > 0 \forall x \geq a^6 $

vậy nên PT $ f(x)=0 $ có không quá 1 nghiệm. (*)

mà ta có:

$ f(a^6)=\sqrt{a^6-a^4}-\sqrt{a^6-a^2} < 0 \forall a>1 $

$ f(a^6+a^4+a^2)=\sqrt{a^2+a^4}+\sqrt{a^2+a^6}-\sqrt{a^6+a^4} >0 \forall a>1 $

vì $ f(a^6).f(a^6+a^4+a^2)<0 $ nên phương trình $ f(x)=0 $ sẽ có nghiệm trên $ [a^6;a^6+a^4+a^2]$, kết
hợp với (*) ta suy ra phương trình có duy nhất 1 nghiệm trên $ \mathbb{D} $

vậy với mọi $ a>1 $ thì phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất.

[diepviennhi]

Tính tổng $P_{n}(x)=1+2x+3x^{2}+...+nx^{n-1}$
Giải : Xét $f_{n}(x)=x+x^{2}+x^{3}+..+x^{n}\Rightarrow {f_{n}}'(x)=P_{n}(x)$ Mặt khác $f_{n}(x)=x(1+x+x^{2}+....+x^{n-1})=\frac{x(x^{n}-1)}{x-1}=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}\forall x\neq 1\Rightarrow {f_{n}}'(x)=\frac{\begin{vmatrix} (n+1)x^{n}-1 \end{vmatrix}(x-1)-(x^{n+1}-x)}{(x-1)^{2}}=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}$
Vậy $P_{n}(x)=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}\forall x\neq 1$
Nếu $x=1\Rightarrow P_{n}(1)=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ (Theo quy nạp toán học)

[Primary]

Đề toán : Xác định a, b để hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}(x+a)e^{-bx} \textup{ khi } x< 0 & & \\ ax^{2}+bx+1 \textup{ khi } x\geq 0 & & \end{matrix}\right.$ có đạo hàm tại x=0
Đáp án :
Ta có $\lim_{x\rightarrow 0^{-} }f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(x+a)e^{-bx}=a$
$\lim_{x\rightarrow 0^{+} }f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}(ax^{2}+bx+1)=1$
Nên $f(x)$ liên tục tại $x=0\Leftrightarrow a=1$
-Với $x<0$ có $f'(x)=e^{-bx}-b(x+a)e^{-bx}.$
$f'(x)$ liên tục tại $0^{-}$ nên $f'(0^{-})=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f'(x)=1-b $ ( vì a=1)
-Với $x>0$ có $f'(x)=2ax+b=2x+b$
$f'(0^{+})=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f'(x)=b$
f(x) có đạo hàm tại 0 $\Leftrightarrow f'(0^{-})=f'(0^{+})\Leftrightarrow b=1-b\Leftrightarrow b=\frac{1}{2}$
Kết luận f(x) có đạo hàm tại $x=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=1 & & \\ b=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.$