Chủ đề này có 4 trả lời

[Alligator]

Trong hộp che kín có m quả cầu màu trắng và n quả cầu màu đen. Hai người A và B chơi trò chơi như sau:

- A và B lần lượt thay phiên lấy ngẫu nhiên một quả cầu ra, coi màu sắc xong bỏ vô hộp lại.

- Ai lấy ra được quả cầu màu trắng trước thì thắng cuộc.

- A được đi trước.

Hỏi xác suất để A thắng cuộc ?

[magic]

Xác suất để lấy được quả đen là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p=\dfrac{n}{m+n}
A sẽ thắng cuộc nếu quả cầu thứ 2k+1 có màu trắng và 2k quả trước nó có màu đen. Xác suất xuất hiện dãy gồm 2k quả đen và 1 quả trắng là http://dientuvietnam....cgi?p^{2k}(1-p)
Vậy xác suất để A thắng cuộc là
Theo lập luận trên thì xác suất để B thắng cuộc là

Kết quả này không có mâu thuẫn , vì tổng 2 kết quả bằng 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi magic: 10-11-2005 - 02:11

[Alligator]

Bạn magic nhanh quá đúng rồi
Mình có lời giải này, cũng là cách đó thôi nhưng giải thích dài dòng hơn chút, đưa lên luôn để tham khảo.

Lời giải
Trong 1 lượt chơi có 3 trường hợp xảy ra:
- A lấy ra quả cầu trắng, XS = m/(m+n) --> A thắng --> kết thúc
- A lấy ra quả cầu đen, XS = n/(m+n), B lấy ra quả cầu trắng, XS = m/(m+n), XS chung la` n/(m+n)*m/(m+n) = mn/(m+n)^2 --> B thắng --> kết thúc
- A lấy ra quả cầu đen, XS = n/(m+n), B cũng lấy ra quả cầu đen, XS = n/(m+n), XS chung la` n/(m+n)*n/(m+n) = n^2/(m+n)^2 --> chơi tiếp lượt sau

Xác suất (toàn cục) để A thắng ở lượt thứ k bằng xác suất A thắng tính riêng trong 1 lượt nhân cho xác suất để có thể xảy ra lượt chơi thứ k đó (tức là xác suất cho A và B đều lấy được quả cầu đen trong mọi lượt chơi cho tới lượt thứ k này)

Trên hình vẽ chỉ thể hiện những trường hợp A thắng hoặc chơi tiếp lượt sau, và xác suất cho trên hình vẽ là XS tính trong 1 lượt chơi.

[Alligator]

Bây giờ đổi đi một chút và mở rộng nha

Trò chơi sắp đặt giống như trước, nhưng lần này ai lấy quả cầu nào ra thì lấy ra luôn không bỏ vô lại.
1. Tìm xác suất để A thắng cho trường hợp m = 1000, n = 999.
2. Tìm xác suất để A thắng cho trường hợp m = 1000, n = 1000.
3. Tìm xác suất để A thắng, lời giải tổng quát.

[magic]

Bây giờ thì xét tất cả các dãy được tạo thành từ m+n quả cầu. Số các dãy như vậy là http://dientuvietnam....cgi?C^m_{n m}. Biến cố A thắng tương ứng với một dãy gồm m+n quả cầu trong đó 2k quả cầu đầu tiên màu đen, quả thứ 2k+1 màu trắng. Tất cả số dãy như vậy là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sum\limits_{k=0}^{\infty}C^{n-2k}_{m+n-(2k+1)} với quy ước http://dientuvietnam...tex.cgi?C^r_n=0 nếu r<0. Như vậy thực chất trong tổng trên chỉ xuất hiện hữu hạn số hạng. Viết như thế này thì tránh phải chia 2 trường hợp n chẵn, lẻ.
Từ đây nhận được XS để A thắng là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{m}{m+n}(1+\dfrac{n}{(m+n-1)}\dfrac{n-1}{(m+n-2)}+\dfrac{n}{(m+n-1)}\dfrac{n-1}{(m+n-2)}\dfrac{n-2}{(m+n-3)}\dfrac{n-3}{(m+n-3)}+\cdots)

Mình chưa rút gọn được tổng này, Alligator giúp cho việc này nhé.
Nhìn vào tổng trên thấy ngay ý nghĩa của nó:
Số hạng thứ nhất là XS A thắng khi lấy quả cầu đầu tiên
Số hạng thứ 2 là XS A thắng tại lượt thứ 2
....
Và cứ như thế đến khi trong hộp không còn quả cầu màu đen để tiếp tục quá trình nữa.
Cách phân tích này giống lời giải mà Alligator đưa ra đối với bài toán trước.

Bạn Alligator thử giải mấy bài của Nhe va xem, mình tính thử mà chẳng có cách nào gọn gàng cả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi magic: 11-11-2005 - 01:21