Chủ đề này có 6 trả lời

[anhxuanfarastar]

Tìm m để phương trình $x^3-(2m+1)x^2 +(3m+1)x -(m+1)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt đều lớn hơn -1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 26-09-2012 - 17:10

[Crystal]

Tìm m để phương trình $x^3-(2m+1)x^2 +(3m+1)x -(m+1)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt đều lớn hơn -1.

Nhận xét: Khi phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt thì hiển nhiên là 3 nghiệm đó sẽ lớn hơn $-1$.

Vậy giả thiết ...đều lớn hơn $-1$ thêm vào làm gì nhỉ .

Hướng dẫn:

1. Xét hàm số: $f\left( x \right) = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {3m + 1} \right)x - \left( {m + 1} \right)$.

2. Tìm $m$ để hàm số $f(x)$ có cực đại và cực tiểu trái dấu (nằm về hai phía trục hoành)

3. Tìm điều kiện đề $f\left( 0 \right) \le 0$.

Xem Bài giảng I.3 - Sự tương giao của các đồ thị

[leminhansp]

Nhận xét: Khi phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt thì hiển nhiên là 3 nghiệm đó sẽ lớn hơn $-1$.

Vậy giả thiết ...đều lớn hơn $-1$ thêm vào làm gì nhỉ .

Hướng dẫn:

1. Xét hàm số: $f\left( x \right) = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {3m + 1} \right)x - \left( {m + 1} \right)$.

2. Tìm $m$ để hàm số $f(x)$ có cực đại và cực tiểu trái dấu (nằm về hai phía trục hoành)

3. Tìm điều kiện đề $f\left( 0 \right) \le 0$.

Xem Bài giảng I.3 - Sự tương giao của các đồ thị

Để ý các tổng các hệ số của phương trình bằng 0, nên "Mò" được nghiệm $x=1$, bài toán trở thành bài toán về phương trình bậc 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 27-09-2012 - 01:53

[nthoangcute]

Tìm m để phương trình $x^3-(2m+1)x^2 +(3m+1)x -(m+1)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt đều lớn hơn -1.

Cách lớp 10:
Phương trình $x^3-(2m+1)x^2 +(3m+1)x -(m+1)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt đều lớn hơn -1.
$\Leftrightarrow $ Phương trình $(x-1) (x^2-2xm+m+1)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt đều lớn hơn -1.
$\Leftrightarrow $ Phương trình $f(x)=x^2-2xm+m+1=0$ có 2 nghiệm dương phân biệt đều lớn hơn -1 và khác 1
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
m\neq2\\
\Delta>0\\
f(-1)>0\\
2m>-2
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
m\neq2\\
m^2-m-1>0\\
m>-\dfrac{2}{3}\\
m>-1
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\begin{bmatrix}
-\dfrac{2}{3}<m<\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\\
\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}<m<2\\
2<m
\end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 27-09-2012 - 16:55

[Crystal]

Cách lớp 10:
...
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m \ne 2}\\
{\Delta > 0}\\
{f( - 1) > 0}\\
{2m > - 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow ...\]

Theo yêu cầu của bài toán thì ta có thể giả thiết lớn hơn $-1$.

Nếu em dùng giả thiết đó, ở đoạn này em phải nói rõ dùng công cụ gì. Có vẻ là định lí so sánh nghiệm với một số?

[nthoangcute]

Theo yêu cầu của bài toán thì ta có thể giả thiết lớn hơn $-1$.

Nếu em dùng giả thiết đó, ở đoạn này em phải nói rõ dùng công cụ gì. Có vẻ là định lí so sánh nghiệm với một số?

Quên chưa giải thích (hì hì...)
Bổ đề thầy Thanh (trao đổi tại http://diendantoanhoc.net... - nhờ anh WWW tìm hộ link):
Xét phương trình $f(x)=ax^2+bx+c=0$
Phương trình có hai nghiệm lớn hơn $k$ khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}
(x_1-k)(x_2-k)>0\\
(x_1-k)+(x_2-k)>0
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow

\left\{\begin{matrix}
x_1x_2-k(x_1+x_2)+k^2>0\\
x_1+x_2>2k
\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow

\left\{\begin{matrix}
x_1x_2-k(x_1+x_2)+k^2>0\\
x_1+x_2>2k
\end{matrix}\right.

\Leftrightarrow

\left\{\begin{matrix}
\dfrac{c}{a}+k\frac{b}{a}+k^2>0\\
-\frac{b}{a}>2k
\end{matrix}\right.



\Leftrightarrow

\left\{\begin{matrix}
af(k)>0\\
-\frac{b}{a}>2k
\end{matrix}\right.
$
_______________________
Ta chỉ lấy cái quan trọng này:

Phương trình $f(x)=ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm lớn hơn $k$ $\Leftrightarrow


\left\{\begin{matrix}
af(k)>0\\
-\frac{b}{a}>2k
\end{matrix}\right.
$

[leminhansp]

_______________________
Ta chỉ lấy cái quan trọng này:

Phương trình $f(x)=ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm lớn hơn $k$ $\Leftrightarrow


\left\{\begin{matrix}
af(k)>0\\
-\frac{b}{a}>2k
\end{matrix}\right.
$

Cái này không phải định lí đảo của định lí dấu tam thức hử? Có được dùng đâu mà nhớ nhỉ?
Ta sẽ giải thích đơn giản là, hai số mang dấu dương khi và chỉ khi tổng và tích của chúng mang dấu dương!

$x_{1} \ge x_{2}>k$ $\Leftrightarrow$ $x_{1}-k \ge x_{2}-k>0$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}
(x_1-k)(x_2-k)>0\\
(x_1-k)+(x_2-k)>0
\end{matrix}\right.$
Rồi dùng định lí Viet

p/s: Giờ mới để ý là nthoangcute đang chứng minh lại nó chứ không phải dùng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 27-09-2012 - 18:01