Lời nói đầu
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức (BĐT) có lẽ đã trở thành một trong những phương pháp “kinh điển”, chính vì thế bạn đọc có thể tìm thấy phương pháp này trong tất cả các quyển sách về BĐT. Tuy nhiên, trong hầu hết các quyển sách viết về BĐT nói chung và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số nói riêng chỉ mới dừng lại ở việc nêu ra một BĐT và chứng minh, mà không nói từ đâu lại có BĐT đó.
Trong chuyên đề này các BĐT cũng là những BĐT quen thuộc và đều được chứng minh bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, tuy nhiên vấn đề “trọng tâm” ở đây là từ các BĐT đó ta có thể sáng tạo ra các BĐT khác.
Hy vọng rằng qua đó, học sinh có thể biết “quy lạ về quen” khi đứng trước một BĐT lạ– đây cũng là phương pháp quan trọng thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh đại học cao đẳng trong nhưng năm gần đây.
$ \bullet \,\,\,\,$ Bài toán chung: Chứng minh BĐT $f(x) \ge g(x)\,\,\,\,(1)$
$ \bullet \,\,\,\,$ Cách giải:
- Chuyển BĐT $(1)$ thành: $h(x) \ge 0\,\,\,\,(2)$
- Tìm TXĐ của hàm số $y = h(x)$, giả sử là $[a;b]$
- Tính $y’ = h’(x)$ và giải phương trình $h’(x) = 0$, suy ra nghiệm.
- Lập bảng biến thiên $\Rightarrow$ BĐT cần chứng minh.
$ \bullet \,\,\,\,$ Chú ý:
- Nếu phương trình $h’(x) = 0$ không giải được thì ta tiếp tục tính đạo hàm cấp $2, 3,…$ đến khi nào có thể xét dấu được thì dừng.
- Trong một số trường hợp ta phải đặt ẩn phụ cho gọn, chẳng hạn đặt $t = \varphi (x)$ thì ta phải dựa vào tập xác định của $x$ để tìm tập giá trị của $t$, từ đó xét hàm số mới có ẩn là $t$.
- Trong một số bài toán ta có thể áp dụng các BĐT Côsi, Bunhiacopski, … sau đó mới xét hàm số.
MỘT SỐ VÍ DỤ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
Trong mục này tôi trình bày một số ví dụ tìm GTLN, GTNN của hàm số
Ví dụ I.1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $f(x) = x + \sqrt {4 - {x^2}}$.
Giải.
TXĐ: $D=[-2;2]$;
$f'(x) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }};f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt 2 $
Lập bảng biến thiên ta thấy: $\mathop {\min }\limits_{x \in [ - 2;2]} f(x) = f( - 2) = - 2;\mathop {\max }\limits_{x \in [ - 2;2]} f(x) = f(\sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 $
Ví dụ I.2: Tìm GTNN của $y = \sqrt { - {x^2} + 4x + 21} - \sqrt { - {x^2} + 3x + 10} = f(x)$
Điều kiện : $2 \leq x \leq 5$
$$y' = \frac{{ - x + 2}}{{\sqrt { - {x^2} + 4x + 21} }} - \frac{{3 - 2x}}{{2\sqrt { - {x^2} + 3x + 10} }}$$
$$y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - x + 2}}{{\sqrt { - {x^2} + 4x + 21} }} - \frac{{3 - 2x}}{{2\sqrt { - {x^2} + 3x + 10} }} = 0$$
Tới đây , chỉ cần bình phương 2 vế lên , và đặt điều kiện $(2 - x)(3 - 2x) \geq 0$ là xong.
$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(2 - x)(3 - 2x) \geq 0}\\{\frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{ - {x^2} + 4x + 21}} = \frac{{4{x^2} - 12x + 9}}{{ - 4{x^2} + 12x + 40}}(2)}\end{array}} \right.$$
Cộng hai vế của (2) ta được
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \geq 2 \vee x \leq \frac{3}{2}}\\
{\frac{{25}}{{ - {x^2} + 4x + 21}} = \frac{{49}}{{ - 4{x^2} + 12x + 40}}}\end{array}} \right.$$
$$ \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \vee x = \frac{{29}}{{17}}$$
Nghiệm $\frac{{29}}{{17}}$ bị loại
$$f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \sqrt 2 ;f(2) = 5 - 2\sqrt 3 ;f(5) = 4$$
Vậy $\min f(x) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \sqrt 2$
Ví dụ I.3: Chứng minh rằng: ${\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^3} > \cos x,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Giải.
BĐT $(1)\,\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{x} > \sqrt[3]{{\cos x}} \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{\cos x}}}} - x > 0$
Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{\sqrt[3]{{\cos x}}}} - x,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ có $f'\left( x \right) = \sqrt[3]{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{3\cos x\sqrt[3]{{\cos x}}}} - 1$
$f''\left( x \right) = \frac{{4{{\sin }^3}x}}{{9{{\cos }^2}x\sqrt[3]{{\cos x}}}} > 0,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) > f'\left( 0 \right) = 0,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$
$ \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow {\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)^3} > \cos x,\,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$
Bài tập:
I.1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số $f(x) = \sqrt {1 - {x^2}} + 2\sqrt[3]{{{{(1 - {x^2})}^2}}}$
I.2. Tìm GTNN, GTLN của hàm số $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$ với $x \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{\pi }{4}} \right]$
I.3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số $f(x) = \frac{{2x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$
I.4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số $f(x) = {x^6} + 4{(1 - {x^2})^3}$ với $x \in [ - 1;1]$
I.5. Tìm GTNN, GTLN của hàm số $f\left( x \right) = x(\sqrt {1 - {x^2}} + x)$.
II. KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG TÌM GTLN,GTNN CỦA BIỂU THỨC.
1. Kỹ thuật tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp thế
Ví dụ II.1.1: Cho $x,y>0$ thỏa $x + y = \frac{5}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{4}{x} + \frac{1}{{4y}}$.
Giải.
Từ giả thiết ta có $y = \frac{5}{4} - x$. Khi đó $P = \frac{4}{x} + \frac{1}{{5 - 4x}}$.
Xét hàm số $f(x) = \frac{4}{x} + \frac{1}{{5 - 4x}};x \in \left( {0;\frac{5}{4}} \right)$.
Ta có: $f'(x) = - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{4}{{{{(5 - 4x)}^2}}} \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = \frac{5}{3}$
Từ bảng biến thiên ta có $\min f(x) = f(1) = 5$, đạt được khi $x = 1,\,\,x = \frac{1}{4}$.
Nhận xét: Bài toán này được giải bằng cách thế một biến qua một biến còn lại rồi đưa về khảo sát hàm số
Ví dụ II.1.2: Cho $x,y>0$ thỏa $x+y=1$. Tìm GTNN của biểu thức $K = \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - y} }}$.
Giải.
Từ giả thiết ta có $y=1-x, 0<x<1$. Khi đó $K$ viết lại thành $K = \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} + \frac{{1 - x}}{{\sqrt x }}$.
Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} + \frac{{1 - x}}{{\sqrt x }}$.
Ta có: $f'(x) = \frac{{2 - x}}{{2(1 - x)\sqrt {1 - x} }} - \frac{{x + 1}}{{2x\sqrt x }} \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$
Vậy $min K= \sqrt{2}$ đạt được khi $x = y = \dfrac{1}{2}$.
Nhận xét: Bài toán này được giải bằng cách thế một biến qua một biến còn lại và sử dụng các giả thiết để đánh giá biến còn lại. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa một biến bị chặn. Ngoài ra ta có thể dùng BĐT Côsi, Bernouli, Jensen,… để chứng minh BĐT này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 02:00