Chủ đề này có 24 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 28/09/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

[E. Galois]

Cho số thực $a >1$. biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình:

$$ \sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4} \ \ \ (1)$$

Toán thủ ra đề: NGOCTIEN_A1_DQH

[kphongdo]

Cho số thực $a >1$. biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình:

$$ \sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4} \ \ \ (1)$$

Toán thủ ra đề: NGOCTIEN_A1_DQH

Lời giải:
Ta thấy rằng:
$$ \sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4}$$
$$\Leftrightarrow (a^4-a^6) \left (\dfrac{1}{\sqrt{x-a^6}+\sqrt{x-a^4}}-\dfrac{1}{\sqrt{x-a^2}} \right)=0\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$
Xét $a=0$ hoặc $a=1$ hoặc $a=-1$ thì $PT(1)$ có vô số nghiệm
Xét $a \neq 0$ và $a \neq 1 $ và $a \neq -1$ ta có:
$$(2) \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x-a^6}+\sqrt{x-a^4}}=\dfrac{1}{\sqrt{x-a^2}}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{x-a^6}+\sqrt{x-a^4}=\sqrt{x-a^2}$$
$$\Leftrightarrow 2x-a^4-a^6+2 \sqrt{(x-a^6)(x-a^4)}=x-a^2$$
$$\Leftrightarrow 2 \sqrt{(x-a^6)(x-a^4)}-a^6-a^4+a^2+x=0$$
Xét hàm số $f(x)=2 \sqrt{(x-a^6)(x-a^4)}-a^6-a^4+a^2+x$ (ĐK: $x \geq \max \{a^6,a^4\}$ và $a \notin \{0,1,-1\}$)
Khi đó $f'(x)=1+\dfrac{\sqrt{x-a^4}}{\sqrt{x-a^6}}+\dfrac{\sqrt{x-a^6}}{\sqrt{x-a^4}}>0$
Suy ra $f(x)$ đồng biến.
Do điều kiện $x \geq \max \{a^6,a^4\}$
Suy ra $f_{min} (x)=\min \{ f(a^6),f(a^4)\}=\min \{a^2-a^6,a^2-a^4\}$
a) Nếu $a<-1$ thì $f_{min} (x)=a^2-a^6<0$ suy ra phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm
b) Nếu $-1<a<0$ thì $f_{min} (x)=a^2-a^4>0$ suy ra phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm
c) Nếu $0<a<1$ thì $f_{min} (x)=a^2-a^4>0$ suy ra phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm
d) Nếu $a>1$ thì $f_{min} (x)=a^2-a^6<0$ suy ra phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm
__________________________
Tóm lại:
a) Nếu $a<-1$ thì $PT(1)$ có một nghiệm
b) Nếu $a=-1$ thì $PT(1)$ có vô số nghiệm
c) Nếu $-1<a<0$ thì $PT(1)$ vô nghiệm
d) Nếu $a=0$ thì $PT(1)$ có vô số nghiệm
e) Nếu $0<a<1$ thì $PT(1)$ vô nghiệm
f) Nếu $a=1$ thì $PT(1)$ có vô số nghiệm
g) Nếu $a>1$ thì $PT(1)$ có một nghiệm

Bài này có phải thí sinh quên điều kiện $a>1$ hay là cố tình muốn thể hiện? Nếu không xét đến điều kiện $a>1$, tức là bài toán yêu cầu giải và biện số nghiệm phương trình theo tham số $a$ thì bạn giải cũng không đúng (không chặt).
Điểm: 3

S = 52 + 3x3 = 61

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:22
Ghi điểm

[Spin9x]

Cho số thực $a>1$. biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình:
$\sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4}$

Đặt $a^2=b>1$ .Phương trình trở thành :
$\sqrt{x-b^3}+\frac{b^3-b^2}{\sqrt{x-b}}=\sqrt{x-b^2}$
$\Leftrightarrow \frac{b^3-b^2}{\sqrt{x-b}}=\sqrt{x-b^2}-\sqrt{x-b^3}=\frac{b^3-b^2}{\sqrt{x-b^2}+\sqrt{x-b^3}}$ (2)
Với $b>1$ nên $b^3>b^2$
$(2)\Leftrightarrow \sqrt{x-b}=\sqrt{x-b^2}+\sqrt{x-b^3}$
$\Leftrightarrow x-b=2x-b^2-b^3+2\sqrt{(x-b^2)(x-b^3)}$
$\Leftrightarrow (b^3+b^2-b)-x=2\sqrt{(x-b^2)(x-b^3)}$
Với $x<b^3+b^2-b$.Pt
$\Leftrightarrow ((b^3+b^2-b)-x)^2=4(x-b^2)(x-b^3)$
$\Leftrightarrow 3x^2-2(b^3+b^2+b)x+4b^5-(b^3+b^2-b)^2=0$ $(1)$
$\Delta'=4b^2(b^4-b^3-b^2+1)=4b^4(b^2-1)(b^3-1)>0$
nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.


Tiếc nhỉ, phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt nhưng với điều kiện $x>b^3$ thì ắt hẳn có một nghiệm bị loại bỏ. Thật vậy, giả sử 2 nghiệm $x_1,x_2 >b^3$ thì $x_1+x_2>2b^3>\frac{2(b^3+b^2-b)}{3}$ (mâu thuẫn với Viet trong $(1)$).
Kết luận của bài toán là có nghiệm duy nhất.
Điểm: 6

S = 52 + 3x6 = 70

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:23
Ghi điểm

[minh29995]

Đặt $a^2=t$ (t>1) thì phương trình đã cho trở thành:
$\sqrt{(x-t^3)(x-t)}+t^3-t^2=\sqrt{(x-t^2)(x-t)}$
Điều kiện: $x\geq t^3$
Đặt: $\sqrt{(x-t^3)(x-t)}=A$
Do 2 vế không âm bình phương 2 vế ta được:
$t^3(t-x)+t^4(t-1)^2+2t^2(t-1)A=t^2(t-x)$
$\Leftrightarrow 2A=x-t^3+t^2-t$
Vì 2 vế không âm do $x\geq t^3, t^2>t$. Bình phương ta được:
$-3x^2+2(t^3+t^2+t)x+t^6-t^4-2t^3+t^2-2t^5=0$ (*)
$\Delta' = 4(t^6-t^5-t^3+t^2)$
Áp dụng AM-GM ta có: $t^6+3t^2\geq 4t^3$ và $3t^6+t^2\geq 4t^5$ mà dấu bằng không xảy ra do $t>1$ nên
$\Delta' >0$
Khi đó (*) có 2 nghiệm phân biệt là:
$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{3}(t^3+t^2+t-2\sqrt{\Delta'})\\ x_2= \frac{1}{3}(t^3+t^2+t+2\sqrt{\Delta'}) \end{matrix}\right.$
Ta có $x_1<t^3$ do $t^2<t^3, t<t^3, -\Delta' <0$ Do đó $x_1$ loại
Ta chứng minh $x_2 >t^3$
$\Leftrightarrow 2t^3-t^2-t< 2\sqrt{t^6-t^5-t^3+t^2}$
$\Leftrightarrow 3t^2+4t+4>0$ (Đúng)
Do đó $x_2$ thỏa mãn..
Kết luận: Với mọi a thì PT đã cho có 1 nghiệm là:

$x=\frac{1}{3}(a^6+a^4+a^2+2\sqrt{a^{12}-a^{10}-a^6+a^4})$

Điểm: 10
S = 52 + 3x10 + 5 = 87

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:24
Ghi điểm

[sogenlun]

Cho số thực $a >1$. biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình:

$$ \sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4} \ \ \ (1)$$

Điều kiện : $x \ge a^6$
Phương trình tương đương với :$$ \sqrt{x-a^6} - \sqrt{x-a^4}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}} =0 $$
$$ \Leftrightarrow \sqrt{x-a^6}+\sqrt{x-a^4}=\sqrt{x-a^2}$$
$$ \Leftrightarrow 2x-a^6-a^4+2\sqrt{x-a^6}\sqrt{x-a^4} = x-a^2$$
$$ \Leftrightarrow 2\sqrt{x-a^6}\sqrt{x-a^4} = a^6+a^4-a^2-x$$
$$ \Leftrightarrow \begin{cases} x \le a^6+a^4-a^2 \\ 4(x^2-x(a^6+a^4)+a^{10}) = (a^6+a^4-a^2-x)^2 \,\,\ (2) \end{cases} $$
Có $(2)$ tương đương với : $$ 4(x^2-x(a^6+a^4)+a^{10}) = a^{12}+a^8+a^4+x^2+2a^{10}-2a^8-2a^6.x-2a^6-2a^4.x+2a^2x $$
$$ \Leftrightarrow 3x^2-2x(a^6+a^4+a^2) -(a^{12}-2a^{10}-a^8-2a^6+a^4)=0 \\ (3)$$
Xét $$ \begin{aligned} \Delta ' = (a^6+a^4+a^2)^2+3(a^{12}-2a^{10}-a^8-2a^6+a^4) \\ = 4a^{12}-4a^{10}-4a^6+4a^4 \\ = 4a^4(a^2-1)^2(a^4+a^2+1) >0 \end{aligned}$$
Suy ra $(3)$ luôn có 2 nghiệm: $$ x_1 = \dfrac{a^6+a^4+a^2+2a^2(a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1}}{3}$$
$$ x_2 = \dfrac{a^6+a^4+a^2-2a^2(a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1}}{3}$$
Và có : $x_2 \le x_1$
Bây giờ ta xét điều kiện :
$$\bullet \,\,\,\, x_1 \le a^6+a^4-a^2 \Leftrightarrow \dfrac{a^6+a^4+a^2+2a^2(a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1}}{3} \le a^6+a^4-a^2$$
$$\Leftrightarrow a^2(a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1} \le a^6+a^4-2a^2 $$
$$\Leftrightarrow (a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1} \le (a^2-1)(a^2+2)$$
$$ a^4+a^2+1 \le a^4+4a^2+4 $$
Thì điều này đúng .
Suy ra $x_1 ; x_2 \le a^6+a^4-a^2 $
Tiếp đến là điều kiện có nghĩa của phương trình .
Có $$x_1 \ge a^6 \Leftrightarrow \dfrac{a^6+a^4+a^2+2a^2(a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1}}{3} \ge a^6 $$
$$\Leftrightarrow 2a^2(a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1} \ge a^2(a^2-1)(2a^2+1) $$
$$ \Leftrightarrow 4(a^4+a^2+1) \ge 4a^4+4a^2 + 1 $$
Điều này đúng .
Có $$x_2 \ge a^6 \Leftrightarrow \dfrac{a^6+a^4+a^2+2a^2(a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1}}{3} \ge a^6 $$
$$\Leftrightarrow a^4+a^2-2a^6 \ge 2a^2(a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1} $$
Cái này vô lí do $VT < 0 <VP $
Nên $x_2$ không là nghiệm của phương trình đã cho .
Vậy với mọi $a>1$ , phương trình đã cho luôn có nghiệm : $$x = \dfrac{a^6+a^4+a^2+2a^2(a^2-1)\sqrt{a^4+a^2+1}}{3}$$


Điểm 10
Hoan nghênh tác giả bài này giải ra được nghiệm cụ thể của bài toán, nên nhớ yêu cầu bài toán chỉ cần chỉ ra số nghiệm của phương trình thôi và cách làm thông thường để chỉ ra số nghiệm của phương trình là dùng............đạo hàm!
S = 50 + 3x10 = 80

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:27
Ghi điểm

[minh29995]

Cách 2:
ĐK:$x\geq x^6$
PT đã cho tương đương:
$\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x+a^6}+\sqrt{x+a^4}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-a^2}=\sqrt{x-a^6}+\sqrt{x-a^4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-a^6}+\sqrt{x-a^4}-\sqrt{x-a^2}=0$ (*)
Xét $f(x)= VT (*)$
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-a^6}}+\frac{1}{2\sqrt{x-a^4}}-\frac{1}{2\sqrt{x-a^2}}>0$
Do $\sqrt{x-a^6} < \sqrt{x-a^2}$ (Do $x\geq a^6>a^2 >1$)
Vậy hàm số đã cho có không quá 1 nghiệm trên $(a^6, +\infty)$
Xét $f(a^6)=\sqrt{a^6-a^4}-\sqrt{a^6-a^2}<0$ (a>1)
$\lim_{x \to +\infty } f(x)= \lim_{x \to +\infty }(\sqrt{x-a^6}+\sqrt{1-\frac{a^4}{x}}-\sqrt{1-\frac{a^2}{x}}) =+\infty$
Do đó PT luôn có nghiệm $x\in (a^6, +\infty)$
Kết luận: PT đã cho có đúng 1 nghiệm với mọi a>1.

Em định dùng định lý giá trị trung gian nhưng không nhắc gì đến tính liên tục của hàm số.
5 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:29
Ghi điểm

[diepviennhi]

Cho số thực $a >1$. biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình:

$$ \sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4} \ \ \ (1)$$

Toán thủ ra đề: NGOCTIEN_A1_DQH

Bài giải: $a> 1\Rightarrow a^{2}> 1$
Điều kiện xác định : $\left\{\begin{matrix}x\geq a^{6} \\x\geq a^{4} \\ x> a^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq a^{6}\geq a^{4}> a^{2}> 1$
Đặt $a^{2}=t> 1\Rightarrow x\geq t^{3}\geq t^{2}> t> 1\Rightarrow -t^{3}\leqslant -t^{2}< -t< -1\Rightarrow x-t^{3}\leq x-t^{2}< x-t< x-1\Rightarrow 0\leq \sqrt{x-t^{3}}\leq \sqrt{x-t^{2}}< \sqrt{x-t}(1)$
Ta có $\sqrt{x-a^{6}}+\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{2}}}=\sqrt{x-a^{4}}\Rightarrow \sqrt{x-t^{3}}+\frac{t^{3}-t^{2}}{\sqrt{x-t}}=\sqrt{x-t^{2}}\Leftrightarrow \frac{t^{3}-t^{2}}{\sqrt{x-t}}=\sqrt{x-t^{2}}-\sqrt{x-t^{3}}\Leftrightarrow \frac{t^{3}-t^{2}}{\sqrt{x-t}}=\frac{(x-t^{2})-(x-t^{3})}{\sqrt{x-t^{2}}+\sqrt{x-t^{3}}}= \frac{t^{3}-t^{2}}{\sqrt{x-t^{2}}+\sqrt{x-t^{3}}}\Leftrightarrow t^{2}(t-1)(\frac{1}{\sqrt{x-t}}-\frac{1}{\sqrt{x-t^{3}}+\sqrt{x-t^{2}}})=0$
Do $t> 1\Rightarrow t^{2}(t-1)> 0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x-t}}-\frac{1}{\sqrt{x-t^{3}}+\sqrt{x-t^{2}}}=0$
Mặt khác từ (1) ta lại có $\sqrt{x-t^{3}}+\sqrt{x-t^{2}}< 2\sqrt{x-t}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x-t^{3}}+\sqrt{x-t^{2}}}> \frac{1}{2\sqrt{x-t}}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x-t}}>\frac{1}{2\sqrt{x-t}}\Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x-t}}> 0$ ( luôn đúng)
Do vậy phương trình luôn có nghiệm


BGK: em nên đọc kĩ yêu cầu bài toán là "biện luận theo a số nghiệm phương trình", tức là tùy theo giá trị của a thì phương trình sẽ có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm,... Câu trả lời của em chung quá là phương trình có nghiệm.
Điểm: 7
S = 49 + 3x7 = 70

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:30
Ghi điểm

[hoangtrong2305]

Cho số thực $a >1$. biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình:

$$ \sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4} \ \ \ (1)$$

$\sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4}$

ĐIỀU KIỆN: $\left\{\begin{matrix} a> 1\\ x\geq a^{6}\\ x>a^{2} \end{matrix}\right.$

$\sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-a^6}-\sqrt{x-a^4}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=0$

$\Leftrightarrow \frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}-\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{6}}+\sqrt{x-a^{4}}}=0$

$\Leftrightarrow (a^6-a^4)(\frac{1}{\sqrt{x-a^2}}-\frac{1}{\sqrt{x-a^{6}}+\sqrt{x-a^{4}}})=0$ (*)

Giả sử $a^{6}-a^{4}=0$

$\Leftrightarrow a^{4}(a^{2}-1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=-1\\ a=0\\ a=1 \end{bmatrix}$ (loại do $a>0$)

Vậy $a^{6}-a^{4}\neq 0$

$(*)\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x-a^2}}=\frac{1}{\sqrt{x-a^{6}}+\sqrt{x-a^{4}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-a^2}=\sqrt{x-a^{6}}+\sqrt{x-a^{4}}$

$\Leftrightarrow x-a^{2}=2x-a^{6}-a^{4}+2\sqrt{(x-a^{6})(x-a^{4})}$

$\Leftrightarrow a^{6}+a^{4}-a^{2}=x+2\sqrt{x^{2}-x(a^{6}+a^{4})+a^{10}}$

Đặt $ a^{6}+a^{4}-a^{2}=A$, phương trình thành:

$A-x=2\sqrt{x^{2}-x(a^{6}+a^{4})+a^{10}}$

$\Leftrightarrow A^{2}-2Ax+x^{2}=4x^{2}-4x(a^{6}+a^{4})+4a^{10}$

$\Leftrightarrow 3x^{2}-2(A+2a^{2})x+4a^{10}-A^{2}=0$

$\Delta '= (A+2a^{2})^{2}-12a^{10}+3A^{2}$

$\Delta '= 4A^{2}+4Aa^{2}+4a^{4}-12a^{10}$

$\Delta '= 4a^{12}-4a^{10}-4a^{6}+4a^{4}$

$\Delta '= a^{12}-a^{10}-a^{6}+a^{4}$

Đặt $f(a)= a^{12}-a^{10}-a^{6}+a^{4}$

$\Leftrightarrow f(a)= a^{4}(a^{6}-1)(a^{2}-1)$

$f(a)= 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=-1\\ a=0\\ a=1 \end{bmatrix}$

Bảng xét dấu:



Với điều kiện $a>1\Rightarrow f(a)>0\Rightarrow \Delta >0$

Về lý thuyết, do $\Delta >0$ nên phương trình $3x^{2}-2(A+2a^{2})x+4a^{10}-A^{2}=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt


Mặt khác, từ điều kiện đề bài, ta có $x>0$ nên 2 nghiệm phân biệt ấy phải dương, giả sử 2 nghiệm ấy là $x_{1};x_{2}$, áp dụng $Viete$, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}>0\\ x_{1}x_{2}>0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2(A+2a^{2})}{3}>0\\ \frac{4a^{10}-A^{2}}{3}>0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{6}+a^{4}+a^{2}>0\, \, \, (true)\\ =-a^{12}+2a^{10}+a^{8}+2a^{6}-a^{4}>0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow -a^{8}+2a^{6}+a^{4}+2a^{2}-1>0$

Xét $g(x)= -a^{8}+2a^{6}+a^{4}+2a^{2}-1$

$g(x)=0\Leftrightarrow -a^{8}+2a^{6}+a^{4}+2a^{2}-1=0$

$\Leftrightarrow -a^{4}+2a^{2}+1+\frac{2}{a^{2}}-\frac{1}{a^{4}}=0$

Đặt $t=a^{2}+\frac{1}{a^{2}};t>2$, phương trình thành:

$-t^{2}+2t+1=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=1+\sqrt{2}\\ t=1-\sqrt{2} \end{bmatrix}$

Do $t>2$, không nằm trong $(1-\sqrt{2};1+\sqrt{2})$ nên ta có $-t^{2}+2t+1<0\forall t>2$

$\Rightarrow -a^{4}+2a^{2}+1+\frac{2}{a^{2}}-\frac{1}{a^{4}}<0$

Vậy tóm lại, ta có:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}>0\\ x_{1}x_{2}<0 \end{matrix}\right.$ nên phương trình $3x^{2}-2(A+2a^{2})x+4a^{10}-A^{2}=0$ chỉ có 1 nghiệm thoả điều kiện đề bài là:

$$x=\frac{(a^{6}+a^{4}+a^{2})\sqrt{a^{12}-a^{10}-a^{6}+a^{4}}}{3}$$

KẾT LUẬN: Với $a>1$ thì phương trình

$$\sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4}$$

có $1$ nghiệm là:

$$\boxed{x=\frac{(a^{6}+a^{4}+a^{2})\sqrt{a^{12}-a^{10}-a^{6}+a^{4}}}{3}}$$


Khi em lí luận đến đoạn
${\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1.x_2<0 \end{matrix}\right$ thì em khẳng định phương trình có nghiệm thỏa yêu cầu bài toán. CD13 thấy đoạn này chưa ổn vì điều kiện nghiệm của bài toán là $x>a>1$ nhưng hệ em nêu ra không đảm bảo phương trình có một nghiệm lớn hơn 1 (!)
(Có nhiều chỗ em cũng ghi sai: điều kiện của a, nghiệm của $x$)
Điểm: 5

S = 42 + 3x5 = 57

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:33
Ghi điểm

[songvui000]

$\sqrt{x-a^{6}}+\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{2}}}=\sqrt{x-a^{4}}$
$\Leftrightarrow \frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{2}}}=\sqrt{x-a^{4}}-\sqrt{x-a^{6}}$
$\Leftrightarrow \frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{2}}}=\frac{x-a^{4}-x+a^{6}}{\sqrt{x-a^{4}}+\sqrt{x-a^{6}}}$
$\Leftrightarrow \frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{2}}}=\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{4}}+\sqrt{x-a^{6}}}$
chia 2 vế cho $a^{6}-a^{4}$ ( do a>1)
$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x-a^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x-a^{4}}+\sqrt{x-a^{6}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-a^{6}}+\sqrt{x-a^{4}}=\sqrt{x-a^{2}}$
Bình phương 2 vế ta được:
$\Leftrightarrow -x-a^{2}+a^{4}+a^{6}=2\sqrt{(x-a^{4})(x-a^{6})}$
$\Leftrightarrow x-a^{2}= x-a^{4}+x-a^{6}+2\sqrt{(x-a^{4})(x-a^{6})}$
$\Leftrightarrow (-x-a^{2}+a^{4}+a^{6})^{2}=(2\sqrt{(x-a^{4})(x-a^{6})})^{2}$
$\Leftrightarrow (-x-a^{2})^{2}+(a^{6}+a^{4})^{2}-2(a^{6}+a^{4})(x+a^{2})=4(x-a^{6})(x-a^{4})$
$\Leftrightarrow x^{2}+a^{4}+2a^{2}x+a^{12}+2a^{10}+a^{8}-2a^{6}x-2a^{8}-2a^{4}x-2a^{6}=4x^{2}-4a^{4}-4a^{6}+4a^{10}$
$\Leftrightarrow 3x^{2}-2x(a^{2}+a^{4}+a^{6})+a^{8}-a^{4}+2a^{6}-a^{12}+2a^{10}=0$
Giải phương trình bậc 2 ẩn x theo hệ số a
ta được$\Delta `=(a^{2}+a^{4}+a^{6})^{2}-3(a^{8}-a^{4}+2a^{6}-a^{12}+2a^{10})$
$=4a^{4}+4a^{12}-4a^{6}-4a^{10}$
$\Delta `>0$
Vì $ 4(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})>0 $ do a>1
ta có nghiệm x
$x_{1}=\frac{a^{2}+a^{4}+a^{6}-2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}}{3}$
$x_{2}=\frac{a^{2}+a^{4}+a^{6}+2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}}{3}$
Theo đề ta có $x-a^{6}\geq 0$
thử từng nghiệm ta có
Th1
$\frac{a^{2}+a^{4}+a^{6}-2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}}{3}\geq a^{6}$
$\Leftrightarrow a^{2}+a^{4}-2a^{6}\geq 2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}$
Vì VT<0 và VP>0 nên BPT không có nghiệm

Th2
$\frac{a^{2}+a^{4}+a^{6}+2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}}{3}\geq a^{6}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}\geq 2a^{6}-a^{4}-a^{2}$
$\Leftrightarrow 4(\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})})^{2}\geq (2a^{6}-a^{4}-a^{2})^{2}$
$\Leftrightarrow 4(a^{12}-a^{10}-a^{6}+a^{4})\geq 4a^{12}+a^{4}+a^{8}-4a^{8}-4a^{10}+2a^{6}$
$\Leftrightarrow 3a^{8}-6a^{6}+3a^{4}\geq 0$
$\Leftrightarrow 3a^{4}(a^{4}-2a^{2}+1)\geq 0$
$\Leftrightarrow 3a^{4}(a^{2}-1)^{2}\geq 0$
BPT đúng dấu = không xảy ra vì a>1
Do đó x luôn luôn có nghiệm
Vậy pt $\sqrt{x-a^{6}}+\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{2}}}=\sqrt{x-a^{4}}$ luôn luôn có nghiệm với $x=\frac{a^{2}+a^{4}+a^{6}+2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}}{3}$


Điểm: 10
S = 36 + 3x10 = 66

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:36
Ghi điểm

[chagtraife]

hihi,bài trước em kết luận bị nhầm! em sửa lại:

điều kiện:$x\geq a^{6}$
khi đó phương trình tương đương:
$\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{2}}}=\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{4}}+\sqrt{x-a^{6}}} $
$\Leftrightarrow \sqrt{x-a^{2}}=\sqrt{x-a^{4}}+\sqrt{x-a^{6}}$
$\Leftrightarrow x-a=2x-a^{4}-a^{6}+2\sqrt{x-a^{4}}\sqrt{x-a^{6}}$ $\Leftrightarrow a^{4}+a^{6}-a=x+2\sqrt{x-a^{4}}\sqrt{x-a^{6}}$
đặt :$F(x)$$=x+2\sqrt{(x-a^{4})(x-a^{6})}$
khi đó:$F(x)'$$=1+\frac{2x-(a^{4}+a^{6})}{\sqrt{(x-a^{4})(x-a^{6})}}$
$F(x)'=0\Leftrightarrow (a^{6}+a^{4}-2x)=\sqrt{(x-a^{4})(x-a^{6})}$
*$a^{6}+a^{4}-2x $$\leq$ $0\Rightarrow F(x)'=0$vô nghiệm!

*$a^{6}+a^{4}-2x> 0\Leftrightarrow x< a^{6}+a^{4}$
$\Rightarrow 3x^{2}-3(a^{4}+a^{6})x+a^{8}+a^{12}+a^{10}=0$
xét $\Delta =9(a^{4}+a^{6})^{2}-4.3.(a^{8}+a^{12}+a^{10}) $
$=-3a^{8}-3a^{12}+6a^{10}$
$=-3a^{8}(a^{2}-1)^{2}< 0$
$\Rightarrow F(x)'=0$ vô nghiệm!
do đó:F(x)' >0 với mọi a>1
suy ra tập giá trị của F(x) là R
nên phương trình (1) có 1 nghiệm khi a>1!



Điểm: 10
S = 36 + 3x10 + 5 = 71

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-10-2012 - 20:14
Ghi điểm

[chuot51560]

mn ui em chưa học phần này thì phải làm thế nào ạ?


Có rất nhiều bài không sử dụng đến đạo hàm đấy thôi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 05-10-2012 - 12:45

[luuxuan9x]

Cho số thực $a >1$. biện luận theo $a$ số nghiệm của phương trình:

$$ \sqrt{x-a^6}+\frac{a^6-a^4}{\sqrt{x-a^2}}=\sqrt{x-a^4} \ \ \ (1)$$

Toán thủ ra đề: NGOCTIEN_A1_DQH

Điều kiện:$\left\{\begin{matrix} x\geq a^{6}\\ x\geq a^{4}\\ x> a^{2} \end{matrix}\right.$.

Khi đó phương trình đã cho thành:

$\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{2}}}=\sqrt{x-a^{4}}-\sqrt{x-a^{6}}$

<=>$\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{2}}}=\frac{a^{6}-a^{4}}{\sqrt{x-a^{4}}+\sqrt{x-a^{6}}}$ (2)

Vì $a> 1$ nên $a^{6}-a^{4}\neq 0$.

Khi đó (2) <=>$\sqrt{x-a^{2}}=\sqrt{x-a^{4}}+\sqrt{x-a^{6}}$.

Đến đây em bí,mong giải đến đây cũng được 1 số ít điểm để trụ lại MHS.


Nghe than tội quá! Cho: 1 điểm!
S=30 + 3x1 = 33

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:40
Ghi điểm

[chagtraife]

cách 2:(hi hi, cách này làm hơi trâu một chút! )
điều kiện:$x\geq a^{6}$
khi đó:
pt(1)$\Leftrightarrow \sqrt{x-a^{2}}=\sqrt{x-a^{4}}+\sqrt{x-a^{6}} $
$\Leftrightarrow x-a^{2}=2x-a^{4}-a^{6}+2\sqrt{x^{2}-(a^{4}+a^{6})x+a^{10}} $
$\Leftrightarrow a^{6}+a^{4}-a^{2}-x=2\sqrt{x^{2}-(a^{4}+a^{6})x+a^{10}}$
$\Leftrightarrow (a^{6}+a^{4}-a^{2}-x)^{2}=4(x^{2}-(a^{4}+a^{6})x+a^{10}) $
$\Leftrightarrow (a^{4}+a^{6}-a^{2})^{2}-2(a^{4}+a^{6}-a^{2})x+x^{2}=4x^{2}-4(a^{4}+a^{6})x+4a^{10} $
$\Leftrightarrow 3x^{2}-2(a^{4}+a^{6}+a^{2})x-a^{12}+2a^{10}+a^{8}+2a^{6}-a^{4}$(2)
xét: $\Delta '=(a^{4}+a^{6}+a^{2})^{2}-3(-a^{12}+2a^{10}+a^{8}+2a^{6}-a^{4}) $
$= 4a^{12}-4a^{10}-4a^{6}+4a^{4} $
$ =4(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})> 0$ $ (a> 1 \Rightarrow a^{6}> a^{4};a^{6}> 1)$
suy ra pt(2) có 2 nghiệm:
$x_1= \frac{a^{4}+a^{6}+a^{2}-\sqrt{4(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}}{3};$
$x_2= \frac{a^{4}+a^{6}+a^{2}+\sqrt{4(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}}{3}$
* $x_1\geq a^{6}$:
$\Leftrightarrow \frac{a^{4}+a^{6}+a^{2}-2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}}{3}\geq a^{6} $
$\Leftrightarrow a^{4}+a^{6}+a^{2}-2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}\geq 3a^{6} $
$\Leftrightarrow a^{4}-2a^{6}+a^{2}\geq 2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}$ (vô lí:vì:$a^{4}-2a^{6}+a^{2}= (a^{4}-a^{6})+(a^{2}-a^{6})< 0$
do đó:$x_1< a^{6}$
*$x_2\geq a^{6}$
$\Leftrightarrow a^{4}+a^{6}+a^{2}+2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}\geq 3a^{6} $
$\Leftrightarrow a^{4}-2a^{6}+a^{2}+2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}\geq 0 $
$\Leftrightarrow 2\sqrt{(a^{6}-1)(a^{6}-a^{4})}\geq 2a^{6}-a^{4}-a^{2} $
$\Leftrightarrow 3a^{8}-6a^{6}+3a^{4}\geq 0 $
$\Leftrightarrow 3a^{4}(a^{2}-1)^{2}\geq 0$(đúng)
do đó:$x_2\geq a^{6}$
vậy phương trình (1) luôn có 1 nghiệm khi a>1!


Điểm: 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 05-10-2012 - 12:56

[chagtraife]

mở rộng:(hihi không biết cái này có phải mở rộng không!)
đối với các bài toán biện luận pt theo tham số, ta có thể sử dụng đạo hàm để giải!
phương pháp:biến đổi pt về dạng:$F(x)=G(a)$
tính đạo hàm của $F(x)$,tìm nghiệm của $F(x)'= 0$ rồi lập bảng biến thiên, để tìm tập giá trị của F(x),
từ bảng biến thiên ta tìm được giá trị min,max của F(x)!
* phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow min_F_(_x_)\leq G(x)\leq max_f_(_x_)$
một số ví dụ:
1)tìm m để pt: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=m$ có nghiệm
2Timf m để pt:
$x+\sqrt{2}+\sqrt{x+2}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})$ có nghiệm


Mở rộng có tính chất..........nhẹ nhàng! Điểm mở rộng: 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 05-10-2012 - 12:57

[chagtraife]

mở rộng 2:
từ bài toán trên, ta có thể suy ra các bài toán sau:
chứng minh pt sau có 1 nghiệm!(với t>1
1)$\sqrt{x-t}=\sqrt{x-t^{2}}+\sqrt{x-t^{3}}$
2)$\sqrt{x-t}=\sqrt{x-t^{3}}+\sqrt{x-t^{4}}+\sqrt{x-t^{6}}$
3)$\sqrt{x-t}=2\sqrt{x-t^{6}}+\sqrt{x-t^{8}}+\sqrt{x-t^{12}}$
tổng quát:
$\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{x-t^{i}}}=\sum_{j=1}^{n}{\sqrt{x-t^{2j}}}+\sum_{l=1}^{n}{\sqrt{x-t^{3l}}}$(4)
giải:(tổng quát):
$\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{x-a^{i}}}=\sum_{j=1}^{n}{\sqrt{x-a^{2j}}}+\sum_{l=1}^{n}{\sqrt{x-a^{3l}}}$
$\Leftrightarrow \sum_{v=1}^{n}{(\sqrt{x-a^{v}}-\sqrt{x-a^{2v}}-\sqrt{x-a^{3v}})}=0$
xét:F(x)=$\sqrt{x-a^{v}}-\sqrt{x-a^{2v}}-\sqrt{x-a^{3v}}$
theo bài toán trên thì $\sqrt{x-a^{2}}=\sqrt{x-a^{4}}+\sqrt{x-a^{6}}$có 1 nghiệm!
hay:$\sqrt{x-t^{v}}-\sqrt{x-t^{2v}}-\sqrt{x-t^{3v}}=0$ có 1 nghiệm!
suy ra:$F(x)'$vô nghiệm!
không mất tính tổng quát,giả sử F(x)>0

$\Rightarrow (\sum_{v=1}^{n}{(\sqrt{x-a^{v}}-\sqrt{x-a^{2v}}-\sqrt{x-a^{3v}})})'>0$
$\Rightarrow$pt (4)có 1 nghiệm!
vậy pt (4) có 1 nghiệm khi t>1

[19kvh97]

Do $a>1$ nên ĐK $x\geq a^{6}$
Đặt $a^{2}=t$ mà$a>1$ nên $t>1$ pt trở thành
$\sqrt{x-t^{3}}+\frac{t^{3}-t^{2}}{\sqrt{x-t}}=\sqrt{x-t^{2}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-t^{3}}-\sqrt{x-t^{2}}=\frac{t^{2}-t^{3}}{\sqrt{x-t}}$
$\Leftrightarrow \frac{t^{2}-t^{3}}{\sqrt{x-t^{3}}+\sqrt{x-t^{2}}}=\frac{t^{2}-t^{3}}{\sqrt{x-t}}$
Do $a>1$ nên $t^{2}-t^{3}=t^{2}(1-t)<0$ nên từ pt trên ta có
$\sqrt{x-t^{3}}+\sqrt{x-t^{2}}=\sqrt{x-t}$
$\Rightarrow x-t^{3}+x-t^{2}+2\sqrt{x^{2}-t^{3}x-t^{2}x+t^{5}}=x-t$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}-x(t^{3}+t^{2})+t^{5}}=-x+t^{3}+t^{2}-t$
$\Leftrightarrow 4x^{2}-4x(t^{3}+t^{2})+4t^{5}=x^{2}+(t^{3}+t^{2}-t)^{2}-2x(t^{3}+t^{2}-t)$
$\Leftrightarrow 3x^{2}-2x(t^{3}+t^{2}+t)+4t^{5}-(t^{3}+t^{2}-t)^{2}=0(2)$
$\Delta '=(t^{3}+t^{2}+t)^{2}-3\left [ 4t^{5}-(t^{3}+t^{2}-t)^{2} \right ]$
$=t^{6}+t^{4}+t^{2}+2t^{5}+2t^{4}+2t^{3}-12t^5+3t^{6}+3t^{4}+3t^{2}+6t^{5}-6t^{3}-6t^{4}$
$=4t^{6}-4t^{5}-4t^{3}+4t^{2}$
$=4t^{2}(t-1)^{2}(t^{2}+t+1)>0\vee t>1$
Vậy pt $(2)$ có nghiệm với $\vee t>1$
Đặt $x=y+t^{3}$ $\Rightarrow (2)\Leftrightarrow 3(y+t^{3})^{2}-2(y+t^{3})(t^{3}+t^{2}+t)+4t^{5}-(t^{3}+t^{2}-t)^{2}=0$
$\Leftrightarrow 3y^{2}+2y(2t^{3}-t^{2}-t)-3t^{6}-t^{4}+2t^{3}-t^{2}=0(3)$
Do pt $(2)$ có nghiệm với $\vee t>1$ nên $(3)$ cũng có nghệm với $\vee t>1$
Áp dụng $Viet$ cho pt $(3)$ ta có $P=-3t^{6}-t^{4}+2t^{3}-t^{2}=t^{2}(1-t)(3t^{3}+3t^{2}+2t)-1<0$ với $\vee t>1$
Suy ra pt $(3)$ nghiệm có $2$ trái dấu $\Rightarrow$ pt $(2)$ chỉ có duy nhất $1$ $x\geq t^{3}$
Hay pt $(1)$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất
KL Vậy với $\vee a>1$ thì pt $(2)$ luôn có $1$ nghiệm duy nhất



Điểm: 9.5
S = 6 + 9.5x3 = 34.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-10-2012 - 20:44
Ghi điểm

[19kvh97]

BQT cho em sửa bài một chút chỗ này

......
Vậy pt $(2)$ có $2$ nghiệm phân biệt với $\vee t>1$
Đặt $x=y+t^{3}$ $\Rightarrow (2)\Leftrightarrow 3(y+t^{3})^{2}-2(y+t^{3})(t^{3}+t^{2}+t)+4t^{5}-(t^{3}+t^{2}-t)^{2}=0$
......
Do pt $(2)$ có $2$ nghiệm phân biệt với $\vee t>1$ nên $(3)$ cũng có $2$ nghiệm phân biệt với $\vee t>1$
.....

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, các toán thủ bắt đầu nhận xét bài làm của nhau

[hoangtrong2305]

Danh sách các bạn có bài thi vòng này