Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
Cho a,b,c là các số không âm.
Chứng minh rằng:$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2$
Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#2
HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
Hình như là thiếu dữ kiện,thử với a=0 và b=c=0,5

#3
no matter what

no matter what

    Why not me

  • Thành viên
  • 397 Bài viết

Cho a,b,c là các số không âm.
Chứng minh rằng:$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2$

hướng đi(xl vì mình đang hơi vội)
áp dụng C.S theo kiểu $(\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2})(\sum \frac{a(b^2+bc+c^2)}{b+c})\geq (a+b+c )^2$
ta CM cho $(a+b+c)^2\geq 2\sum \frac{a(b^2+bc+c^2)}{b+c}$
khai triển + C.S là ra schur dạng phân thức ạ (~~)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 29-09-2012 - 05:27


#4
duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
Lời giải trong cuốn BĐT và những lời giải hay:
Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy Schwarz
$\sum \frac{a(b+c)}{b^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{a(b+c)(ab+bc+ca)}{(b^{2}+bc+c^{2})(ab+bc+ca)}\geq
4(ab+bc+ca)\sum \frac{a(b+c)}{(ab+ac+b^{2}+c^{2}+2bc)^{2}}= \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}=2$
:lol:
FC.Fruit

#5
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho a,b,c là các số không âm.
Chứng minh rằng:$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2$

Chúng ta còn có bất đẳng thức mạnh hơ sau đây $$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2).}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 06-10-2012 - 20:13

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#6
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Chúng ta còn có bất đẳng thức mạnh hơ sau đây $$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2).}$$

Anh Huyện có thể chữa bài này được không ạ? Em khá là bối rối khi gặp bất đẳng thức chứa đại lượng $[(a-b)(b-c)(c-a)]^2$.Cũng như bài toán này vậy:
http://diendantoanho...d-a-b2sum-a3b3/
Em cảm ơn anh ạ! :)
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#7
duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Anh Huyện có thể chữa bài này được không ạ? Em khá là bối rối khi gặp bất đẳng thức chứa đại lượng $[(a-b)(b-c)(c-a)]^2$.Cũng như bài toán này vậy:
http://diendantoanho...d-a-b2sum-a3b3/
Em cảm ơn anh ạ! :)

Chém thử coi sao : :icon10:
Đặt $a^2b+b^2c+c^2a=m$ và $ab^2+bc^2+ca^2=n$ .BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(a+c)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{m}{n}+\frac{n}{m}$
$\Leftrightarrow (m+n)\left (\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(a+c)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2} \right )\geq m+n+\frac{m^2}{n}+\frac{n^2}{m}$
Ta có : $(m+n)\left (\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(a+c)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2} \right )$
$=\sum \frac{a(b+c)(a^2(b+c)+a(b^2+c^2)+bc(b+c))}{b^2+bc+c^2}$
$=\sum \left ( a^3+a^2(b+c)+abc+\frac{a^3bc+ab^2c^2-a^2bc(b+c)}{b^2+bc+c^2} \right )$
$=a^3+b^3+c^3+3abc+m+n+abc\sum\frac{(a-b)(a-c)}{b^2+bc+c^2}\geq a^3+b^3+c^3+3abc+m+n$
Do đó ta chỉ cần chứng minh :
$a^3+b^3+c^3+3abc\geq \frac{m^2}{n}+\frac{n^2}{m}$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc-m-n\geq (\frac{1}{m}+\frac{1}{n})(m-n)^2$
$\Leftrightarrow (a+b-c)(a-b)^2+c(a-c)(b-c)\geq (\frac{1}{\sum a^2b}+\sum\frac{1}{ab^2})(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$
Giả sử $c$ =min{ $a,b,c$ }.Ta có: $c(a-c)(b-c)\geq 0$ .Ta phải đi chứng minh :
$(a+b-c)\geq \left ( \frac{1}{\sum a^2b}+\frac{1}{\sum ab^2} \right )(a-c)^2(b-c)^2$
Do $\frac{(a-c)^2(b-c)^2}{a+b-c}\leq \frac{ab^2(a-c)}{(a-c)+b}=\frac{ab^2}{1+\frac{b}{a-c}}$
$\leq \frac{ab^2}{1+\frac{b}{a}}=\frac{a^2b^2}{a+b}$
$\Rightarrow (a+b-c)\geq \frac{a+b}{a^2b^2}(a-c)^2(b-c)^2=\left ( \frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2} \right )(a-c)^2(b-c)^2$
$\geq \left ( \frac{1}{\sum a^2b}+\frac{1}{\sum ab^2} \right )(a-c)^2(b-c)^2$
Suy ra đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $abc=0$. ~O)
FC.Fruit

#8
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
Chú ý rằng
$$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}=\frac{ab}{b^2+bc+c^2}+\frac{ca}{b^2+bc+c^2},$$
nên theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
$$ \begin{aligned}\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}& = \sum \frac{(a^2b)^2}{a^3b(b^2+bc+c^2)}+\sum \frac{(c^2a)^2}{c^3a(b^2+bc+c^2)} \\& \ge \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2}{\displaystyle \sum a^3b(b^2+bc+c^2)}+\frac{(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{\displaystyle \sum c^3a(b^2+bc+c^2)}\\&=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]}.\end{aligned}$$ Kết hợp với bất đẳng thức Schur bậc 3 $$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a),$$
ta được
$$\begin{aligned}\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} &\ge \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc(a^3+b^3+c^3+3abc)}\\&=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ca^2+ab^2+bc^2)}\\&=2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}.\end{aligned}$$
Bài toán này được bạn Lê Việt Hải làm mạnh từ một bất đẳng thức của Darij Grinberg, ngoài ra ta cũng có một kết quả khác của giáo sư Vasile $$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2+4\cdot\left ( \frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{b-c}{b+c}\cdot\frac{c-a}{c+a} \right )^2.$$
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#9
nhatvinh2018

nhatvinh2018

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết

Chú ý rằng
$$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}=\frac{ab}{b^2+bc+c^2}+\frac{ca}{b^2+bc+c^2},$$
nên theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
$$ \begin{aligned}\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}& = \sum \frac{(a^2b)^2}{a^3b(b^2+bc+c^2)}+\sum \frac{(c^2a)^2}{c^3a(b^2+bc+c^2)} \\& \ge \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2}{\displaystyle \sum a^3b(b^2+bc+c^2)}+\frac{(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{\displaystyle \sum c^3a(b^2+bc+c^2)}\\&=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]}.\end{aligned}$$ Kết hợp với bất đẳng thức Schur bậc 3 $$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a),$$
ta được
$$\begin{aligned}\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} &\ge \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc(a^3+b^3+c^3+3abc)}\\&=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ca^2+ab^2+bc^2)}\\&=2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}.\end{aligned}$$
Bài toán này được bạn Lê Việt Hải làm mạnh từ một bất đẳng thức của Darij Grinberg, ngoài ra ta cũng có một kết quả khác của giáo sư Vasile $$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2+4\cdot\left ( \frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{b-c}{b+c}\cdot\frac{c-a}{c+a} \right )^2.$$

dấu bằng xảy ra khi nào ạ






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh