$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2$
#1
Đã gửi 29-09-2012 - 00:17
#2
Đã gửi 29-09-2012 - 00:45
#3
Đã gửi 29-09-2012 - 05:27
hướng đi(xl vì mình đang hơi vội)Cho a,b,c là các số không âm.
Chứng minh rằng:$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2$
áp dụng C.S theo kiểu $(\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2})(\sum \frac{a(b^2+bc+c^2)}{b+c})\geq (a+b+c )^2$
ta CM cho $(a+b+c)^2\geq 2\sum \frac{a(b^2+bc+c^2)}{b+c}$
khai triển + C.S là ra schur dạng phân thức ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi no matter what: 29-09-2012 - 05:27
- BoBoiBoy yêu thích
#4
Đã gửi 29-09-2012 - 11:07
Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy Schwarz
$\sum \frac{a(b+c)}{b^{2}+bc+c^{2}}=\sum \frac{a(b+c)(ab+bc+ca)}{(b^{2}+bc+c^{2})(ab+bc+ca)}\geq
4(ab+bc+ca)\sum \frac{a(b+c)}{(ab+ac+b^{2}+c^{2}+2bc)^{2}}= \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}=2$
- HÀ QUỐC ĐẠT, Poseidont, WhjteShadow và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 06-10-2012 - 20:12
Chúng ta còn có bất đẳng thức mạnh hơ sau đây $$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2).}$$Cho a,b,c là các số không âm.
Chứng minh rằng:$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 06-10-2012 - 20:13
- Tham Lang, HÀ QUỐC ĐẠT, HAHHA và 5 người khác yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#6
Đã gửi 11-10-2012 - 16:16
Anh Huyện có thể chữa bài này được không ạ? Em khá là bối rối khi gặp bất đẳng thức chứa đại lượng $[(a-b)(b-c)(c-a)]^2$.Cũng như bài toán này vậy:Chúng ta còn có bất đẳng thức mạnh hơ sau đây $$\frac{a\left ( b+c \right )}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{c^{2}+ac+a^{2}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2).}$$
http://diendantoanho...d-a-b2sum-a3b3/
Em cảm ơn anh ạ!
- BoBoiBoy yêu thích
#7
Đã gửi 30-10-2012 - 09:19
Chém thử coi sao :Anh Huyện có thể chữa bài này được không ạ? Em khá là bối rối khi gặp bất đẳng thức chứa đại lượng $[(a-b)(b-c)(c-a)]^2$.Cũng như bài toán này vậy:
http://diendantoanho...d-a-b2sum-a3b3/
Em cảm ơn anh ạ!
Đặt $a^2b+b^2c+c^2a=m$ và $ab^2+bc^2+ca^2=n$ .BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(a+c)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{m}{n}+\frac{n}{m}$
$\Leftrightarrow (m+n)\left (\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(a+c)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2} \right )\geq m+n+\frac{m^2}{n}+\frac{n^2}{m}$
Ta có : $(m+n)\left (\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(a+c)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2} \right )$
$=\sum \frac{a(b+c)(a^2(b+c)+a(b^2+c^2)+bc(b+c))}{b^2+bc+c^2}$
$=\sum \left ( a^3+a^2(b+c)+abc+\frac{a^3bc+ab^2c^2-a^2bc(b+c)}{b^2+bc+c^2} \right )$
$=a^3+b^3+c^3+3abc+m+n+abc\sum\frac{(a-b)(a-c)}{b^2+bc+c^2}\geq a^3+b^3+c^3+3abc+m+n$
Do đó ta chỉ cần chứng minh :
$a^3+b^3+c^3+3abc\geq \frac{m^2}{n}+\frac{n^2}{m}$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc-m-n\geq (\frac{1}{m}+\frac{1}{n})(m-n)^2$
$\Leftrightarrow (a+b-c)(a-b)^2+c(a-c)(b-c)\geq (\frac{1}{\sum a^2b}+\sum\frac{1}{ab^2})(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$
Giả sử $c$ =min{ $a,b,c$ }.Ta có: $c(a-c)(b-c)\geq 0$ .Ta phải đi chứng minh :
$(a+b-c)\geq \left ( \frac{1}{\sum a^2b}+\frac{1}{\sum ab^2} \right )(a-c)^2(b-c)^2$
Do $\frac{(a-c)^2(b-c)^2}{a+b-c}\leq \frac{ab^2(a-c)}{(a-c)+b}=\frac{ab^2}{1+\frac{b}{a-c}}$
$\leq \frac{ab^2}{1+\frac{b}{a}}=\frac{a^2b^2}{a+b}$
$\Rightarrow (a+b-c)\geq \frac{a+b}{a^2b^2}(a-c)^2(b-c)^2=\left ( \frac{1}{a^2b}+\frac{1}{ab^2} \right )(a-c)^2(b-c)^2$
$\geq \left ( \frac{1}{\sum a^2b}+\frac{1}{\sum ab^2} \right )(a-c)^2(b-c)^2$
Suy ra đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $abc=0$.
- HÀ QUỐC ĐẠT, BoBoiBoy và nhungvienkimcuong thích
#8
Đã gửi 30-10-2012 - 18:35
$$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}=\frac{ab}{b^2+bc+c^2}+\frac{ca}{b^2+bc+c^2},$$
nên theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
$$ \begin{aligned}\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}& = \sum \frac{(a^2b)^2}{a^3b(b^2+bc+c^2)}+\sum \frac{(c^2a)^2}{c^3a(b^2+bc+c^2)} \\& \ge \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2}{\displaystyle \sum a^3b(b^2+bc+c^2)}+\frac{(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{\displaystyle \sum c^3a(b^2+bc+c^2)}\\&=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]}.\end{aligned}$$ Kết hợp với bất đẳng thức Schur bậc 3 $$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a),$$
ta được
$$\begin{aligned}\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} &\ge \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc(a^3+b^3+c^3+3abc)}\\&=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ca^2+ab^2+bc^2)}\\&=2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}.\end{aligned}$$
Bài toán này được bạn Lê Việt Hải làm mạnh từ một bất đẳng thức của Darij Grinberg, ngoài ra ta cũng có một kết quả khác của giáo sư Vasile $$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2+4\cdot\left ( \frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{b-c}{b+c}\cdot\frac{c-a}{c+a} \right )^2.$$
- HÀ QUỐC ĐẠT, WhjteShadow, duongvanhehe và 4 người khác yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
#9
Đã gửi 31-07-2021 - 14:27
Chú ý rằng
$$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}=\frac{ab}{b^2+bc+c^2}+\frac{ca}{b^2+bc+c^2},$$
nên theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
$$ \begin{aligned}\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}& = \sum \frac{(a^2b)^2}{a^3b(b^2+bc+c^2)}+\sum \frac{(c^2a)^2}{c^3a(b^2+bc+c^2)} \\& \ge \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2}{\displaystyle \sum a^3b(b^2+bc+c^2)}+\frac{(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{\displaystyle \sum c^3a(b^2+bc+c^2)}\\&=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]}.\end{aligned}$$ Kết hợp với bất đẳng thức Schur bậc 3 $$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a),$$
ta được
$$\begin{aligned}\sum \frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2} &\ge \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc(a^3+b^3+c^3+3abc)}\\&=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ca^2+ab^2+bc^2)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ca^2+ab^2+bc^2)}\\&=2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}.\end{aligned}$$
Bài toán này được bạn Lê Việt Hải làm mạnh từ một bất đẳng thức của Darij Grinberg, ngoài ra ta cũng có một kết quả khác của giáo sư Vasile $$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2+4\cdot\left ( \frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{b-c}{b+c}\cdot\frac{c-a}{c+a} \right )^2.$$
dấu bằng xảy ra khi nào ạ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh