Chủ đề này có 4 trả lời

[yellow]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a.b.c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

[25 minutes]

VT=$\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{ab+ac}\geq \frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right )^{2}}{2\left ( ab+ac+ac \right )}= \frac{ab+ac+bc}{2}\geq \frac{3}{2}$?

[minhson95]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a.b.c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a.b.c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Một cách khác:

$VT=\sum (\dfrac{a^2}{a(b+c)}) \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} \geq \dfrac{3(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=\frac{3}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 30-09-2012 - 15:09

[Dung Dang Do]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a.b.c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Đặt $\frac{x}{y}=a;\frac{y}{z}=b;\frac{z}{x}=c$
Ta đưa đc về BĐT Nesbitt 3 biến
$$\frac{x}{y+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{y}{x+z}\ge \frac{3}{2}$$

[KietLW9]

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a.b.c=1$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

Lời giải. Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

 

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều và ngược chiều, ta được: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3.[\frac{x}{y+z}.(y+z)+\frac{y}{z+x}.(z+x)+\frac{z}{x+y}.(x+y)]=\frac{x+y+z}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$