Cho ba số dương $x, y, z$ thoả mãn $x + y + z = 1$. Chứng mình rằng: $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14$
Chứng mình rằng: $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14$
Bắt đầu bởi yellow, 30-09-2012 - 21:03
#1
Đã gửi 30-09-2012 - 21:03
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#2
Đã gửi 30-09-2012 - 21:28
Tớ làm vậy xem đc ko nhéCho ba số dương $x, y, z$ thoả mãn $x + y + z = 1$. Chứng mình rằng: $VT=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đc với $VT=\frac{3}{a}+\frac{2}{1-2a}>14$ với $a=xy+yz+yz$
Tương đương $28a^2-18a+3>0$ (dễ dàng chứng minh đc)
- WhjteShadow, no matter what và Mai Xuan Son thích
#3
Đã gửi 30-09-2012 - 22:40
đây cũng không phải là bài khó lắm, cách của tdk votedCho ba số dương $x, y, z$ thoả mãn $x + y + z = 1$. Chứng mình rằng: $\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}>14$
mình CM cách khác thuần hơn 1 tí(bdt cổ điển)nha
viết BDT cần CM thành
$2(\frac{1}{2(ab+bc+ca)}+\frac{1}{x^2+y^2+z^2})+\frac{2}{ab+bc+ca}$$> 14$
bđt trên suy ra từ 2 BDT sau
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$
và$xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}(x+y+z)^2$
và ĐK x+y+z=1(dĩ nhiên dấu bằng không xảy ra khi áp dụng AM-GM lần 1)
- donghaidhtt, WhjteShadow và hoangmanhquan thích
#4
Đã gửi 05-10-2012 - 12:08
Ai có thể cm bài toán trên = cách nào đó mà ko sử dụng đến AM-GM được ko ạ ?
#5
Đã gửi 18-01-2017 - 18:53
áp dụng Bunhiakopski cho cặp số $\frac{x^2}{a} và \frac{y^2}{b}$ ta có
VT$\geq$$()\sqrt{6}+\sqrt{2})^2/.....$=> dpcm
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh