Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm $GTNN$ của $A=x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 03-10-2012 - 09:07

Cho $x,y>0$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geqslant 2$
Tìm $GTNN$ của $A=x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1$

Hình đã gửi


#2 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-10-2012 - 14:32

Bằng vài thao tác đơn giản ta có được $ MinA=\frac{-1}{3} $. ta có thể có được giá trị này bằng nhiều cách khác nhau, nhưng tối hậu nhất vẫn là pp GVTT (Giả vờ tán tỉnh ) của tác giả nthoangcute tại đây: http://diendantoanho...0x1sqrt5x-1200/
Còn anh sẽ giải theo cách lớp 10 cho em:
Theo kết quả có được ta cần chứng minh:
$ A=x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1 \ge \frac{-1}{3} $




Ta có thể chứng minh bằng pp tam thức bậc hai: (Thật ra vì bài này toàn bậc chẵn nên ta mới có suy nghĩ dùng tam thức bậc hai)
Thật vậy ta có $ Delta(x^2)=(y^2-2)^2-4(y^4-2y^2+\frac{4}{3})=-3y^4+4y^2-\frac{-4}{3} $
Lại tính delta bước nữa $ Delta(y^2)=16-16=0 $. Vậy $ -3y^4+4y^2-\frac{-4}{3} \le 0 $ nên $ f(x^2) \ge 0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 03-10-2012 - 14:33





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh