Chủ đề này có 1 trả lời

[perfectstrong]

Bài toán: Xác định đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa
$$\sin P\left( x \right) = P\left( {\sin x} \right),\forall x \in \mathbb{R}$$

[bachhammer]

Bài toán: Xác định đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa
$$\sin P\left( x \right) = P\left( {\sin x} \right),\forall x \in \mathbb{R}$$

Ta có nhận xét là $sinP(x+2\pi)=P(sin(x+2\pi))=P(sinx)=sinP(x)$. Vì thế nên $\forall x\in \mathbb{R}: \frac{P(x+2\pi)-P(x)}{2\pi}\in\mathbb{Z}$ hoặc $\frac{P(x+2\pi)+P(x)-\pi}{2\pi}\in\mathbb{Z}$.

Ta xét hai tập hợp:

$M=\left \{ x\in\mathbb{R}|\frac{P(x+2\pi)-P(x)}{2\pi}\in\mathbb{Z} \right \}$ và $N=\left \{ x\in\mathbb{R}|\frac{P(x+2\pi)+P(x)-\pi}{2\pi}\in\mathbb{Z} \right \}$.

Xét một khoảng $(a;b)$ tùy ý, ta có các trường hợp sau:

- Nếu tất cả các khoảng $(a;b)\subset A$ thì rõ ràng vì P là đa thức nên $P(x+2\pi)-P(x)=c\Rightarrow P(x+2\pi)-\frac{c}{2\pi}(x+2\pi)=P(x)-\frac{c}{2\pi}x\Rightarrow P(x)=ux+v,\forall x\in\mathbb{R}$ (cũng do P là đa thức)

- Nếu tất cả các khoảng $(a;b)\subset B$ thì rõ ràng vì P là đa thức nên $P(x+2\pi)+P(x)=d$, đồng nhất hệ số của bậc cao nhất ta thấy nó phải bằng 0 tức là $P(x)=e$ (P là đa thức).

- Nếu không xảy ra một trong hai trường hợp trên thì rõ ràng tồn tại vô số các khoảng $(a;b)$ sao cho luôn tồn tại hai phần tử thuộc A và B. Do đó với bất kì x, ta có thể xây dựng được hai dãy $(a_n)\subset A,(b_n)\subset B$ sao cho $lima_n=limb_n=x$.

Khi đó $P(a_n+2\pi)-P(a_n)=2\pi u_n,u_n\in\mathbb{Z}, P(b_n+2\pi)+P(b_n)=2\pi v_n+\pi,v_n\in\mathbb{Z}.$

Cho $n\to +\infty$ ta được (để ý P là hàm liên tục): 

$P(x+2\pi)-P(x)=2\pi u(x),P(x+2\pi)+P(x)=2\pi v(x)+\pi;u(x),v(x)\in\mathbb{Z}.$ Trừ hai đẳng thức theo vế ta có thể suy ra:

$P(x)=C$.

Vậy trong tất cả các trường hợp trên ta đều có $P(x)=ax+b,a,b\in\mathbb{R}$.

Thử lại ta sẽ được:

$P(x)=0,P(x)=x,P(x)=-x$ là các đa thức cần tìm.

(Lời giải có chỗ nào hỏng logic thì nói cho mình biết nhé)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 15-08-2014 - 14:09