Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng:$ \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq ...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
anhxuanfarastar

anhxuanfarastar

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 368 Bài viết
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.
Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
----------------
Công thức toán phải được kẹp tr0ng thẻ $ và tiêu đề không quá dài bạn nhé :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 05-10-2012 - 20:34

INTELLIGENCE IS THE ABILITY TO ADAPT TO CHANGE !!!


#2
yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#3
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.
Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
----------------
Công thức toán phải được kẹp tr0ng thẻ $ và tiêu đề không quá dài bạn nhé :)

Do $a+b+c=1$ nên ta có thể viết lại điều phải chứng minh:
$$(a+b+c)\left(\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\right)\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$$
$$\Leftrightarrow \frac{a^2c}{b}+\frac{b^2a}{c}+\frac{c^2a}{b}+\frac{a^3}{c}+\frac{b^3}{a}+\frac{c^3}{b}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$$
Và the0 bất đẳng thức $AM-GM$ (Cô-si) thì ta có:
$$\frac{a^2c}{b}+bc+\frac{b^2a}{c}+ac+\frac{c^2a}{b}+ab\geq 2(ab+bc+ca)$$
$$\Rightarrow \frac{a^2c}{b}+\frac{b^2a}{c}+\frac{c^2a}{b}+\frac{a^3}{c}\geq ab+bc+ca\,\,\,(*)$$
Và mặt khác cũng the0 $AM-GM$ thì:
$$\frac{a^3}{c}+ac+\frac{b^3}{a}+ab+\frac{c^3}{b}+bc\geq 2(a^2+b^2+c^2)\,\,\,(**)$$
Cộng $(*)$ và $(**)$ vế the0 vế ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 05-10-2012 - 20:53

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#4
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.
Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
----------------
Công thức toán phải được kẹp tr0ng thẻ $ và tiêu đề không quá dài bạn nhé smile.gif

Lời giải. Ta có:

$VT-VP=\frac{c+a}{b}(a-b)^2+\frac{a+b}{c}(b-c)^2+\frac{b+c}{a}(c-a)^2\geqslant 0$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh