Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số nguyên dương$a,b,c,m,n$ thỏa mãn hệ phương trình.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Tìm các số nguyên dương $a,b,c,m,n$ thỏa \[\left\{ \begin{array}{l}
a \le b \le c \le d = {n^2}\\
a + b + c + d = {m^2}\\
{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = 2021
\end{array} \right.\]

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2
minhbeo12

minhbeo12

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Ta có: d2 < 2021 => d < 45 => n2 < 45 => n < 7

          4d2 > 2021 => d > 22 => n2 > 22 => n > 4

 

TH1: n = 5 => d = 25

Khi đó a2 + b2 + c2 = 1396 (1). Do 1396 chia hết cho 4 => a, b,c đều chia hết cho 4.

(1) => 1396 < 3c2 => 21 < c. Lại có c < d => c = 24

Do đó a2 + b2 = 820 => 820 < 2b2 => 21 < b

Lại có b2 < 820 => b < 29. Do b chia hết cho 4 nên b = 24 hoặc b = 28

  +Nếu b = 24 (loại do a nguyên)

  +Nếu b = 28 => b > c (loại)

 

TH2: n = 6 => d = 36

Khi đó a2 + b2 + c2 = 725 (2) => 725 < 3c2 => 16 < c

Ta có (a + b + c)2 < 3(a2 + b2 + c2 ) => (m2 - 36)2 < 2175 => m2 - 36 < 46 => m2< 84

Lại co a + b + c + 36 = m2 => c + 36 < m2 => 52 < m2

Do đó m = 8 hoặc m = 9

 

 + Nếu m = 8. Khi đó a + b + c = 28. Lại có a + b + c, a2 + b2 + c2  cùng tính chẵn lẻ (Loại)

 + Nếu m = 9. Khi đó a + b + c = 45.

Ta có nhận xét từ (2) => có 2 số chẵn và 1 số lẻ (Nếu có 3 số lẻ thì VT chia 4 dư 3, VP chia 4 dư 1)

Từ (2) => c2 < 725 => c < 26.

Do đó 16 < c < 26

Xét c = 16 => a + b = 29; a2 + b2 = 469 => 2b2> 469 => b > 16 => b = 16 (Loại do không tồn tại a)    (a < b < c)

Xét c = 17 => a + b = 28; a2 + b2 = 436 => 2b2> 436 => b > 15. Do c lẻ nên a, b phải chẵn => b = 16 (Loại do không tồn tại a)

Tương tự ta sẽ tìm được một bộ a = 10, b = 15, c = 20, d = 36



#3
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

giải thích kĩ vì sao tại m=8 ra cùng tính chẵn lẻ(loại ) zẻ bạn 



#4
minhbeo12

minhbeo12

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

giải thích kĩ vì sao tại m=8 ra cùng tính chẵn lẻ(loại ) zẻ bạn 

Ta có (a2 + b2 + c2) - (a + b + c) = a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) => (a2 + b2 + c2) - (a + b + c) chia hết cho 2

Do đó a2 + b2 + c2, a + b + c phải cùng tính chăn lẻ



#5
Tippo2002

Tippo2002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Ta có: d2 < 2021 => d < 45 => n2 < 45 => n < 7

          4d2 > 2021 => d > 22 => n2 > 22 => n > 4

 

TH1: n = 5 => d = 25

Khi đó a2 + b2 + c2 = 1396 (1). Do 1396 chia hết cho 4 => a, b,c đều chia hết cho 4.

 

 

sao lại v bạn ơi sao lại a,b,c chia hết cho 4

VD (12+32+22) chia hết cho 2 nhưng 1 đâu chia hết cho 2 ; 3 đâu chia hết cho 2



#6
minhbeo12

minhbeo12

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

sao lại v bạn ơi sao lại a,b,c chia hết cho 4

VD (12+32+22) chia hết cho 2 nhưng 1 đâu chia hết cho 2 ; 3 đâu chia hết cho 2

Mình viết nhầm, chỗ đó là a, b, c cùng chẵn 

Do 1396 chia hết cho 4. Nên bắt buộc a, b, c cùng chẵn



#7
Tippo2002

Tippo2002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Mình viết nhầm, chỗ đó là a, b, c cùng chẵn 

Do 1396 chia hết cho 4. Nên bắt buộc a, b, c cùng chẵn

Vẫn sai bạn ơi như VD trên thì 1 và 3 là số lẻ mà nhưng vẫn chia hết cho 2



#8
minhbeo12

minhbeo12

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Vẫn sai bạn ơi như VD trên thì 1 và 3 là số lẻ mà nhưng vẫn chia hết cho 2

1 + 4 + 9 = 14 có chia hết cho 4 đâu.

Bạn làm ơn đọc ky giúp mình



#9
Tippo2002

Tippo2002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

1 + 4 + 9 = 14 có chia hết cho 4 đâu.

Bạn làm ơn đọc ky giúp mình

nhưng 12+42+92 k chia hết cho 4



#10
minhbeo12

minhbeo12

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

nhưng 12+42+92 k chia hết cho 4

Kiểm tra lại đi



#11
minhbeo12

minhbeo12

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

 

Kiểm tra lại đi, một số chính phương chỉ chia 4 dư 0 hoặc 1 thôi



#12
Tippo2002

Tippo2002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Kiểm tra lại đi

=98 k chia hết cho 4






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh