$\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{x^2}$
#1
Đã gửi 07-10-2012 - 22:56
đặt $P(x)=\left\{(m,n)|1 \leq m \leq n \leq x, (F_m,F_n)=1 \right \}$
Tính $\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{x^2}$
- bangbang1412, nhungvienkimcuong và Element hero Neos thích
Những ngày cuối cùng còn học toán
winwave1995
#2
Đã gửi 07-03-2017 - 18:32
Tôi cứ đánh giá chung chung như này , trước tiên ta biết $F_{gcd(m,n)}= gcd(F_{m},F_{n})$ , ta bỏ qua thứ tự các cặp $(m,n)$ thì ta sẽ làm việc với tập $P'$ mới ( số phần tử bằng $2$ lần tập ban đầu ), và ta đặt lại như sau
$$P'(x)=\left \{ (m,n) | 1 \leq m,n \leq x , (F_{m},F_{n})=1 \right \}$$
$$N(x) = \left \{ (m,n) | 1 \leq m,n \leq x , (m,n) \leq 2 \right \}$$ ( vì $F_{1}=F_{2}=1$ )
$$M(x) = \left \{(m,n) | 1 \leq m,n \leq x , (m.n)=1 \right \}$$
Không giảm tổng quát giả sử $x \in N$
$$|P'(x)| = |N(x)|$$
Giờ ta đi đếm tập $N(x)$ ta phân hoạch tập $N$ thành hai phần $(m,n)=1$ và $(m,n)=2$ khi đó ta có :
$$|N(x)| = |M(x)| + |M(\frac{x}{2})|$$
Bài toán quan trọng nhất hiện tại là đếm số cặp $(m,n)=1$ với $m,n \leq x$ cho trước , vậy ta dễ thấy $M(x) = M(x-1) \cup \left \{(m,n) | T \right \}$ trong đó $T$ là mệnh đề ít nhất một trong hai số $m,n > x-1$ , khi đó ta có
$$|M(x)| = |M(x-1)| + 2\phi(x)$$ ( phi hàm Euler )
$$|M(x)| = 2\sum_{i=1}^{x} \phi(i) - 1$$
Xem thêm tại : http://mathworld.wol...ryFunction.html hoặc introduction to analytic number theory ( Tom M.Apostol page $62$ ) vậy ta có xấp xỉ :
$$|M(x)| \cong \frac{6}{\pi^{2}}x^{2}-1$$
Giới hạn ban đầu có thể tính như là :
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} \frac{\frac{6}{\pi^{2}}(x^{2}+\frac{x^{2}}{4}) - 2}{x^{2}} = \frac{1}{2}.\frac{6}{\pi^{2}}.\frac{5}{4} = \frac{15}{4\pi^{2}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-03-2017 - 23:57
- chanhquocnghiem và nhungvienkimcuong thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#3
Đã gửi 07-03-2017 - 22:47
Gọi số cặp $(m;n)$ sao cho $1\leq m,n\leq x$ và $gcd(m,n)\leq 2$ là $g(n)$. Ta dễ có bằng đổi chỗ $m,n$, $P(n)= \frac{g(n)+n-2}{2}$ (bỏ các cặp $(k;k),k\geq 3$).
Vậy ta cần tính $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{g(n)}{n^2}$, tương đương với xác xuất khi chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $gcd(m,n)\leq 2$.
Xác xuất $m$ và $n$ có ít nhất một số không chia hết cho $p\geq 3$, $p$ nguyên tố là $1-\frac{1}{p^2}$.Xác xuất $m$ và $n$ có ít nhất một số không chia hết cho $4$ là $\frac{15}{16}$ Các sự kiện đối với mỗi số nguyên tố $p$ và $4$ là độc lập nên xác xuất trên là: $\frac{15}{16}\prod_{p\geq 3}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )=\frac{15}{16} \frac{4}{3}\prod_{p}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{15}{16}\frac{4}{3}\frac{1}{\zeta (2)}= \frac{15}{16}\frac{4}{3}\frac{6}{\pi ^2}= \frac{15}{2 \pi ^2}$
Kết luận giới hạn: $\frac{15}{ 4\pi ^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 08-03-2017 - 20:40
- bangbang1412, chanhquocnghiem, nhungvienkimcuong và 1 người khác yêu thích
For the love of Canidae
#4
Đã gửi 07-03-2017 - 22:56
Gọi số cặp $(m;n)$ sao cho $1\leq m,n\leq x$ và $gcd(m,n)\leq 2$ là $g(n)$. Ta dễ có bằng đổi chỗ $m,n$, $P(n)= \frac{g(n)+n-2}{2}$ (bỏ các cặp $(k;k),k\geq 3$).
Vậy ta cần tính $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{g(n)}{n^2}$, tương đương với xác xuất khi chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $gcd(m,n)\leq 2$.
Xác xuất $m$ và $n$ có ít nhất một số không chia hết cho $p\geq 3$, $p$ nguyên tố là $1-\frac{1}{p^2}$. Các sự kiện đối với mỗi số nguyên tố $p$ là độc lập nên xác xuất trên là: $\prod_{p\geq 3}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{4}{3}\prod_{p}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{4}{3}\frac{1}{\zeta (2)}= \frac{4}{3}\frac{6}{\pi ^2}= \frac{8}{\pi ^2}$
Kết luận giới hạn: $\frac{4}{\pi ^2}$
Chết thật , anh chỉ làm cái $d(m,n)$ mà quên mất rằng mình bị lặp nhiều cặp quá
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#5
Đã gửi 08-03-2017 - 20:25
Gọi số cặp $(m;n)$ sao cho $1\leq m,n\leq x$ và $gcd(m,n)\leq 2$ là $g(n)$. Ta dễ có bằng đổi chỗ $m,n$, $P(n)= \frac{g(n)+n-2}{2}$ (bỏ các cặp $(k;k),k\geq 3$).
Vậy ta cần tính $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{g(n)}{n^2}$, tương đương với xác xuất khi chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $gcd(m,n)\leq 2$.
Xác xuất $m$ và $n$ có ít nhất một số không chia hết cho $p\geq 3$, $p$ nguyên tố là $1-\frac{1}{p^2}$. Các sự kiện đối với mỗi số nguyên tố $p$ là độc lập nên xác xuất trên là: $\prod_{p\geq 3}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{4}{3}\prod_{p}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{4}{3}\frac{1}{\zeta (2)}= \frac{4}{3}\frac{6}{\pi ^2}= \frac{8}{\pi ^2}$
Kết luận giới hạn: $\frac{4}{\pi ^2}$
Xem lại kq này , code python ra tính đến $100000$ thì gần bằng $\frac{15}{4\pi^{2}}$ hơn
- redfox yêu thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#6
Đã gửi 08-03-2017 - 20:41
Xem lại kq này , code python ra tính đến $100000$ thì gần bằng $\frac{15}{4\pi^{2}}$ hơn
em quên số $4$, cảm ơn anh.
For the love of Canidae
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh