Đến nội dung


Hình ảnh

$\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{x^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 The Gunner

The Gunner

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 07-10-2012 - 22:56

Cho dãy Fibonaci $F_n$
đặt $P(x)=\left\{(m,n)|1 \leq m \leq n \leq x, (F_m,F_n)=1 \right \}$
Tính $\lim_{x \to \infty} \frac{P(x)}{x^2}$

Những ngày cuối cùng còn học toán

winwave1995

#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1554 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry
    Recently trying to grasp derived functors of non-additive functors on abelian categories.

Đã gửi 07-03-2017 - 18:32

Tôi cứ đánh giá chung chung như này , trước tiên ta biết $F_{gcd(m,n)}= gcd(F_{m},F_{n})$ , ta bỏ qua thứ tự các cặp $(m,n)$ thì ta sẽ làm việc với tập $P'$ mới ( số phần tử bằng $2$ lần tập ban đầu ), và ta đặt lại như sau

 

$$P'(x)=\left \{ (m,n) | 1 \leq m,n \leq x , (F_{m},F_{n})=1 \right \}$$

$$N(x) = \left \{ (m,n) | 1 \leq m,n \leq x , (m,n) \leq 2 \right \}$$ ( vì $F_{1}=F_{2}=1$ )

$$M(x) = \left \{(m,n) | 1 \leq m,n \leq x , (m.n)=1 \right \}$$

 

Không giảm tổng quát giả sử $x \in N$

 

$$|P'(x)| = |N(x)|$$ 

 

Giờ ta đi đếm tập $N(x)$ ta phân hoạch tập $N$ thành hai phần $(m,n)=1$ và $(m,n)=2$ khi đó ta có :

 

$$|N(x)| = |M(x)| + |M(\frac{x}{2})|$$

 

Bài toán quan trọng nhất hiện tại là đếm số cặp $(m,n)=1$ với $m,n \leq x$ cho trước , vậy ta dễ thấy $M(x) = M(x-1) \cup \left \{(m,n) | T \right \}$ trong đó $T$ là mệnh đề ít nhất một trong hai số $m,n  > x-1$ , khi đó ta có 

 

$$|M(x)| = |M(x-1)| + 2\phi(x)$$ ( phi hàm Euler ) 

 

$$|M(x)| = 2\sum_{i=1}^{x} \phi(i) - 1$$

 

Xem thêm tại : http://mathworld.wol...ryFunction.html hoặc introduction to analytic number theory ( Tom M.Apostol page $62$ ) vậy ta có xấp xỉ : 

 

$$|M(x)| \cong \frac{6}{\pi^{2}}x^{2}-1$$

 

Giới hạn ban đầu có thể tính như là : 

 

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} \frac{\frac{6}{\pi^{2}}(x^{2}+\frac{x^{2}}{4}) - 2}{x^{2}} = \frac{1}{2}.\frac{6}{\pi^{2}}.\frac{5}{4} = \frac{15}{4\pi^{2}}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-03-2017 - 23:57

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:furry

Đã gửi 07-03-2017 - 22:47

Gọi số cặp $(m;n)$ sao cho $1\leq m,n\leq x$ và $gcd(m,n)\leq 2$ là $g(n)$. Ta dễ có bằng đổi chỗ $m,n$, $P(n)= \frac{g(n)+n-2}{2}$ (bỏ các cặp $(k;k),k\geq 3$).

Vậy ta cần tính $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{g(n)}{n^2}$, tương đương với xác xuất khi chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $gcd(m,n)\leq 2$.

Xác xuất $m$ và $n$ có ít nhất một số không chia hết cho $p\geq 3$, $p$ nguyên tố là $1-\frac{1}{p^2}$.Xác xuất $m$ và $n$ có ít nhất một số không chia hết cho $4$ là $\frac{15}{16}$ Các sự kiện đối với mỗi số nguyên tố $p$ và $4$ là độc lập nên xác xuất trên là: $\frac{15}{16}\prod_{p\geq 3}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )=\frac{15}{16} \frac{4}{3}\prod_{p}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{15}{16}\frac{4}{3}\frac{1}{\zeta (2)}= \frac{15}{16}\frac{4}{3}\frac{6}{\pi ^2}= \frac{15}{2 \pi ^2}$

Kết luận giới hạn: $\frac{15}{ 4\pi ^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 08-03-2017 - 20:40


#4 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1554 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry
    Recently trying to grasp derived functors of non-additive functors on abelian categories.

Đã gửi 07-03-2017 - 22:56

Gọi số cặp $(m;n)$ sao cho $1\leq m,n\leq x$ và $gcd(m,n)\leq 2$ là $g(n)$. Ta dễ có bằng đổi chỗ $m,n$, $P(n)= \frac{g(n)+n-2}{2}$ (bỏ các cặp $(k;k),k\geq 3$).

Vậy ta cần tính $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{g(n)}{n^2}$, tương đương với xác xuất khi chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $gcd(m,n)\leq 2$.

Xác xuất $m$ và $n$ có ít nhất một số không chia hết cho $p\geq 3$, $p$ nguyên tố là $1-\frac{1}{p^2}$. Các sự kiện đối với mỗi số nguyên tố $p$ là độc lập nên xác xuất trên là: $\prod_{p\geq 3}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{4}{3}\prod_{p}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{4}{3}\frac{1}{\zeta (2)}= \frac{4}{3}\frac{6}{\pi ^2}= \frac{8}{\pi ^2}$

Kết luận giới hạn: $\frac{4}{\pi ^2}$

Chết thật , anh chỉ làm cái $d(m,n)$ mà quên mất rằng mình bị lặp nhiều cặp quá 


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1554 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Algebraic Topology
    Algebraic Geometry
    Recently trying to grasp derived functors of non-additive functors on abelian categories.

Đã gửi 08-03-2017 - 20:25

Gọi số cặp $(m;n)$ sao cho $1\leq m,n\leq x$ và $gcd(m,n)\leq 2$ là $g(n)$. Ta dễ có bằng đổi chỗ $m,n$, $P(n)= \frac{g(n)+n-2}{2}$ (bỏ các cặp $(k;k),k\geq 3$).

Vậy ta cần tính $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{g(n)}{n^2}$, tương đương với xác xuất khi chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $gcd(m,n)\leq 2$.

Xác xuất $m$ và $n$ có ít nhất một số không chia hết cho $p\geq 3$, $p$ nguyên tố là $1-\frac{1}{p^2}$. Các sự kiện đối với mỗi số nguyên tố $p$ là độc lập nên xác xuất trên là: $\prod_{p\geq 3}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{4}{3}\prod_{p}\left ( 1-\frac{1}{p^2} \right )= \frac{4}{3}\frac{1}{\zeta (2)}= \frac{4}{3}\frac{6}{\pi ^2}= \frac{8}{\pi ^2}$

Kết luận giới hạn: $\frac{4}{\pi ^2}$

Xem lại kq này , code python ra tính đến $100000$ thì gần bằng $\frac{15}{4\pi^{2}}$ hơn 


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#6 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:furry

Đã gửi 08-03-2017 - 20:41

Xem lại kq này , code python ra tính đến $100000$ thì gần bằng $\frac{15}{4\pi^{2}}$ hơn 

em quên số $4$, cảm ơn anh.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh