Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Tìm vị trí của $B$ và $C$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 08-10-2012 - 12:30

Bài toán: Cho $A\left ( 1;0 \right )$ và hai điểm $B$, $C$ thuộc hai đường tròn $x^2+y^2=2$ và $x^2+y^2=5$. Tìm vị trí của $B$ và $C$ trên hai đường tròn sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất.

Thích ngủ.


#2 ChinhLu

ChinhLu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Pisa Italy
  • Sở thích:Football, chess

Đã gửi 26-06-2014 - 20:12

Assume that we have found B on the circle C1 (of center O and radius 2) and C on the circle C2 (of center O and radius 5) such that the area of the triangle 

ABC is maximum. Then OB must be perpendicular  to AC (otherwise we can move B to one of these two points on the circle C1). Arguing similarly, we see that OC is perpendicular to AB. Therefore, O must be the orthocenter of the triangle ABC. In particular, OA is perpendicular to BC. Suppose now that the coordinates of B and C are (-x,y_1) and (-x,y_2) respectively with $x\geq 0$. Then we need to maximise the following quantity

$$S(x):= (1+x) (\sqrt{2-x^2}+\sqrt{5-x^2}).$$

By standard analysis calculus, we can find $x=1$ and hence the position of B and C on the circles.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 26-06-2014 - 20:13


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 27-06-2014 - 08:03

Bài toán: Cho $A\left ( 1;0 \right )$ và hai điểm $B$, $C$ thuộc hai đường tròn $x^2+y^2=2$ và $x^2+y^2=5$. Tìm vị trí của $B$ và $C$ trên hai đường tròn sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất.

Gọi $S$ là tập hợp các tam giác $ABC$ có $B\in (C_{1}):x^2+y^2=2$ và $C\in (C_{2}):x^2+y^2=5$

$d$ là một đường thẳng nào đó có điểm chung với $(C_{1})$ và $(C_{2})$

Trước hết, ta tìm xem trong các tam giác thuộc tập $S$ và có $B,C\in d$, tam giác nào có diện tích lớn nhất.

$d$ và $(C_{1})$ có các điểm chung là $N$ và $P$ ($N$ và $P$ có thể trùng nhau hoặc khác nhau)

$d$ và $(C_{2})$ có các điểm chung là $M$ và $Q$ ($4$ điểm $M,N,P,Q$ nằm trên $d$ theo thứ tự đó và $N$ có thể trùng với $P$)

Kẻ $OI$ _|_ $d$ ($I\in d$) $\Rightarrow NI=IP;MI=IQ\Rightarrow MP=NQ$

Vậy nếu $B,C\in d$ thì $S_{ABC}$ lớn nhất khi $B\equiv N;C\equiv Q$ hoặc $B\equiv P;C\equiv M$.

Đặt $PM=NQ=a$ ($a$ là số không đổi và $\sqrt{3}\leqslant a\leqslant \sqrt{2}+\sqrt{5}$)

Gọi $S_{1}$ là tập các tam giác thuộc $S$ và có $BC=a$.Ta tìm xem trong tập $S_{1}$, tam giác nào có diện tích lớn nhất.

Gọi $AH$ là đường cao ứng với cạnh $BC$ của các tam giác thuộc tập $S_{1}$.

Dễ thấy mọi tam giác thuộc $S_{1}$ đều là ảnh của $\Delta ANQ$ hoặc $\Delta APM$ qua phép quay quanh $O$ một góc nào đó 

$AH\leqslant AO+OI\Rightarrow$ nếu $\Delta ABC\in S_{1}$ thì $S_{ABC}$ lớn nhất khi $A,O,H$ thẳng hàng hay $BC$ _|_ $Ox$

Cuối cùng ta tìm xem trong các tam giác thuộc $S$ có $BC$ _|_ $Ox$, tam giác nào có diện tích lớn nhất.

Xét các tam giác thuộc $S$ có $BC$ _|_ $Ox$.Gọi hoành độ của $B,C$ (và $H$) là $x$.Vì $\sqrt{3}\leqslant BC\leqslant \sqrt{2}+\sqrt{5}$ nên chỉ cần xét $x\in \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$.

$BC=NQ=PM=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{2-x^2}$ ; $AH=1-x\Rightarrow S_{ABC}=\frac{\left ( \sqrt{5-x^2}+\sqrt{2-x^2} \right )\left ( 1-x \right )}{2}$

Ta tìm điểm cực trị của hàm $S_{ABC}(x)$ trên đoạn $\left [ -\sqrt{2};0 \right ]$

$S'(x)=\frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{-x}{\sqrt{5-x^2}}+\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}} \right )\left ( 1-x \right )-\sqrt{5-x^2}-\sqrt{2-x^2} \right ]=\frac{\left ( x^2-x \right )\sqrt{2-x^2}+\left ( x^2-x \right )\sqrt{5-x^2}-\left ( 5-x^2 \right )\sqrt{2-x^2}-\left ( 2-x^2 \right )\sqrt{5-x^2}}{2\sqrt{5-x^2}.\sqrt{2-x^2}}=\frac{\left ( 2x^2-x-5 \right )\sqrt{2-x^2}+\left ( 2x^2-x-2 \right )\sqrt{5-x^2}}{2\sqrt{5-x^2}.\sqrt{2-x^2}}$

$S'(x)=0\Leftrightarrow \left ( 2x^2-x-5 \right )\sqrt{2-x^2}=-\left ( 2x^2-x-2 \right )\sqrt{5-x^2}$ (1)

(1) $\Rightarrow \frac{5-x^2}{2-x^2}=\left ( \frac{2x^2-x-5}{2x^2-x-2} \right )^2\Rightarrow \frac{3}{2-x^2}=\frac{-12x^2+6x+21}{4x^4-4x^3-7x^2+4x+4}\Rightarrow 2x^3-8x^2+10=0\Rightarrow \left ( x+1 \right )\left ( x^2-5x+5 \right )=0$ $\Rightarrow x_{1}=-1$ ; $x_{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$ ; $x_{3}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$

Đối chiếu với điều kiện và thay vào (1) để thử lại, chỉ có nghiệm $x=-1$ thỏa mãn.

$S_{ABC}\left ( -1 \right )=\frac{1}{2}.\left ( \sqrt{4}+\sqrt{1} \right ).2=3$

$S_{ABC}\left ( -\sqrt{2} \right )=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+0 \right )\left ( 1+\sqrt{2} \right )=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}< 3$

$S_{ABC}\left ( 0 \right )=\frac{1}{2}.\left ( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right ).1=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2}< 3$

Vậy $S_{ABC}$ đạt giá trị lớn nhất là $3$ khi $x=-1$

$\Rightarrow B\left ( -1;-1 \right ),C\left ( -1;2 \right )$ hoặc $B\left ( -1;1 \right ),C\left ( -1;-2 \right )$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-06-2014 - 08:10

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh