Tìm vị trí của $B$ và $C$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất.
#1
Đã gửi 08-10-2012 - 12:30
- Sn Wuank, Karl Vierstein, Dramons Celliet và 3 người khác yêu thích
Thích ngủ.
#2
Đã gửi 26-06-2014 - 20:12
Assume that we have found B on the circle C1 (of center O and radius 2) and C on the circle C2 (of center O and radius 5) such that the area of the triangle
ABC is maximum. Then OB must be perpendicular to AC (otherwise we can move B to one of these two points on the circle C1). Arguing similarly, we see that OC is perpendicular to AB. Therefore, O must be the orthocenter of the triangle ABC. In particular, OA is perpendicular to BC. Suppose now that the coordinates of B and C are (-x,y_1) and (-x,y_2) respectively with $x\geq 0$. Then we need to maximise the following quantity
$$S(x):= (1+x) (\sqrt{2-x^2}+\sqrt{5-x^2}).$$
By standard analysis calculus, we can find $x=1$ and hence the position of B and C on the circles.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 26-06-2014 - 20:13
- nguyenlyninhkhang, L Lawliet, Rias Gremory và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 27-06-2014 - 08:03
Bài toán: Cho $A\left ( 1;0 \right )$ và hai điểm $B$, $C$ thuộc hai đường tròn $x^2+y^2=2$ và $x^2+y^2=5$. Tìm vị trí của $B$ và $C$ trên hai đường tròn sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất.
Gọi $S$ là tập hợp các tam giác $ABC$ có $B\in (C_{1}):x^2+y^2=2$ và $C\in (C_{2}):x^2+y^2=5$
$d$ là một đường thẳng nào đó có điểm chung với $(C_{1})$ và $(C_{2})$
Trước hết, ta tìm xem trong các tam giác thuộc tập $S$ và có $B,C\in d$, tam giác nào có diện tích lớn nhất.
$d$ và $(C_{1})$ có các điểm chung là $N$ và $P$ ($N$ và $P$ có thể trùng nhau hoặc khác nhau)
$d$ và $(C_{2})$ có các điểm chung là $M$ và $Q$ ($4$ điểm $M,N,P,Q$ nằm trên $d$ theo thứ tự đó và $N$ có thể trùng với $P$)
Kẻ $OI$ _|_ $d$ ($I\in d$) $\Rightarrow NI=IP;MI=IQ\Rightarrow MP=NQ$
Vậy nếu $B,C\in d$ thì $S_{ABC}$ lớn nhất khi $B\equiv N;C\equiv Q$ hoặc $B\equiv P;C\equiv M$.
Đặt $PM=NQ=a$ ($a$ là số không đổi và $\sqrt{3}\leqslant a\leqslant \sqrt{2}+\sqrt{5}$)
Gọi $S_{1}$ là tập các tam giác thuộc $S$ và có $BC=a$.Ta tìm xem trong tập $S_{1}$, tam giác nào có diện tích lớn nhất.
Gọi $AH$ là đường cao ứng với cạnh $BC$ của các tam giác thuộc tập $S_{1}$.
Dễ thấy mọi tam giác thuộc $S_{1}$ đều là ảnh của $\Delta ANQ$ hoặc $\Delta APM$ qua phép quay quanh $O$ một góc nào đó
$AH\leqslant AO+OI\Rightarrow$ nếu $\Delta ABC\in S_{1}$ thì $S_{ABC}$ lớn nhất khi $A,O,H$ thẳng hàng hay $BC$ _|_ $Ox$
Cuối cùng ta tìm xem trong các tam giác thuộc $S$ có $BC$ _|_ $Ox$, tam giác nào có diện tích lớn nhất.
Xét các tam giác thuộc $S$ có $BC$ _|_ $Ox$.Gọi hoành độ của $B,C$ (và $H$) là $x$.Vì $\sqrt{3}\leqslant BC\leqslant \sqrt{2}+\sqrt{5}$ nên chỉ cần xét $x\in \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$.
$BC=NQ=PM=\sqrt{5-x^2}+\sqrt{2-x^2}$ ; $AH=1-x\Rightarrow S_{ABC}=\frac{\left ( \sqrt{5-x^2}+\sqrt{2-x^2} \right )\left ( 1-x \right )}{2}$
Ta tìm điểm cực trị của hàm $S_{ABC}(x)$ trên đoạn $\left [ -\sqrt{2};0 \right ]$
$S'(x)=\frac{1}{2}\left [ \left ( \frac{-x}{\sqrt{5-x^2}}+\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}} \right )\left ( 1-x \right )-\sqrt{5-x^2}-\sqrt{2-x^2} \right ]=\frac{\left ( x^2-x \right )\sqrt{2-x^2}+\left ( x^2-x \right )\sqrt{5-x^2}-\left ( 5-x^2 \right )\sqrt{2-x^2}-\left ( 2-x^2 \right )\sqrt{5-x^2}}{2\sqrt{5-x^2}.\sqrt{2-x^2}}=\frac{\left ( 2x^2-x-5 \right )\sqrt{2-x^2}+\left ( 2x^2-x-2 \right )\sqrt{5-x^2}}{2\sqrt{5-x^2}.\sqrt{2-x^2}}$
$S'(x)=0\Leftrightarrow \left ( 2x^2-x-5 \right )\sqrt{2-x^2}=-\left ( 2x^2-x-2 \right )\sqrt{5-x^2}$ (1)
(1) $\Rightarrow \frac{5-x^2}{2-x^2}=\left ( \frac{2x^2-x-5}{2x^2-x-2} \right )^2\Rightarrow \frac{3}{2-x^2}=\frac{-12x^2+6x+21}{4x^4-4x^3-7x^2+4x+4}\Rightarrow 2x^3-8x^2+10=0\Rightarrow \left ( x+1 \right )\left ( x^2-5x+5 \right )=0$ $\Rightarrow x_{1}=-1$ ; $x_{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$ ; $x_{3}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$
Đối chiếu với điều kiện và thay vào (1) để thử lại, chỉ có nghiệm $x=-1$ thỏa mãn.
$S_{ABC}\left ( -1 \right )=\frac{1}{2}.\left ( \sqrt{4}+\sqrt{1} \right ).2=3$
$S_{ABC}\left ( -\sqrt{2} \right )=\frac{1}{2}\left ( \sqrt{3}+0 \right )\left ( 1+\sqrt{2} \right )=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}< 3$
$S_{ABC}\left ( 0 \right )=\frac{1}{2}.\left ( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right ).1=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2}< 3$
Vậy $S_{ABC}$ đạt giá trị lớn nhất là $3$ khi $x=-1$
$\Rightarrow B\left ( -1;-1 \right ),C\left ( -1;2 \right )$ hoặc $B\left ( -1;1 \right ),C\left ( -1;-2 \right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 27-06-2014 - 08:10
- L Lawliet và caybutbixanh thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh