Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6
MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-10-2012 - 23:15
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-10-2012 - 23:15
Viết lại bài toán cần chứng minhLúc nãy ngồi lục lại mấy cuốn sách cũ thì thấy được bài toán sau:
Bài toán: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:
a) $\sqrt{1^3+2^3}=1+2$;
b) $\sqrt{1^3+2^3+3^3}=1+2+3$;
c) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}=1+2+3+4$;
d) $\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3+5^3}=1+2+3+4+5$.
Bằng một số biến đổi hoặc lười thì ta bấm máy tính thì đều thu được kết quả đúng. Mình đã thử lần lượt đến với số $15$ và đều đúng. Nên mình nghĩ tới $n$ số như sau:
Bài toán: Với mọi số nguyên $n\geq 1$ thì ta có: $\sqrt{\sum_{1}^{n}n^3}=\sum_{1}^{n}n$ (ghi như bình thường là: $\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n$).Spoiler
Bài này lớp 8 chứ lớp 6 sao mà giải được.Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6
MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!
Lớp 6 nếu học ở những trường chuyên lớp chọn (ko phải mình nhé ) thì cũng sẽ được giới thiệu quy nạp ^^.Bài này ở lớp 6 chưa học nên không thể giải được. Hôm qua mình có hỏi anh trai mình, anh ấy nói đây là bài toán của lớp 8. Mong bạn có thể sửa để đúng với kiến thức lớp 6.
Bài này lớp 8 chứ lớp 6 sao mà giải được.
Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6
Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6
MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!vậy các anh giải theo lớp 8 đi
: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!
Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6
MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!
Và đây là cách lớp 8
Giả sử $1^3+2^3+3^3+...+n^3=f(n)=an^4+bn^3+cn^2+dn$
Ta có : $f(1)=1=a+b+c+d$
$f(2)=9=16a+8b+4c+2d$
$f(3)=36=81a+27b+9c+3d$
$f(4)=100=256a+64b+16c+4d$
Giải hệ trên ta được các nghiệm $a,b,c,d$ duy nhất rồi thay vào công thức tổng quát $f(n)$ là xong
Mình xin nói một cách tổng quát về bài toán tính tổng $S=1^k+2^k+3^k+...+n^k$ như sau:
Đầu tiên, với $k=1$ thì $S=1+2+3+...+n$ cái này thì ai cũng biết công thức và cách chứng minh rồi : $S=\frac{n(n+1)}{2}$
*Với $k=2$ thì $S=1^2+2^2+3^2+...+n^2$ để tính nó thì có nhiều cách lắm nhưng mình xin làm theo cách sau cho tổng quát:
Ta tính tổng :$S'=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)$
$\Leftrightarrow 3.S'=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n(n+1).3=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]$
Sau một hồi giản lược ta được: $3S'=n(n+1)(n+2) \Rightarrow S'=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
Ta lại có: $S'=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n) = S+ \frac{n(n+1)}{2}$
$ \Rightarrow S=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
*Với $k=3$ thì $S=1^3+2^3+3^3+...+n^3$
Ta tính tổng $S'=1.2.3+2.3.4+3.4.5+....+n(n+1)(n+2)$
$ \Rightarrow 4S’=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+…+n(n+1)(n+2)4=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+…+n(n+1)(n+2)[(n+3)-(n-1)]$
Từ đó ta được: $S’= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
Ta có: $n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n$
Từ đó ta có: $S’=(1^3+2^3+3^3+…+n^3)+3.(1^2+2^2+3^2+…+n^2)+2.(1+2+3+…n)$
$\Rightarrow S=S’-3.\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} – 2.\frac{n(n+1)}{2}=…=(\frac{n(n+1)}{2})^2$
Từ đây bạn làm tương tự với k=4; k=5; …
{Cái này ở lớp nhỏ mới dùng thôi, chứ thiệt sự thì dùng sai phân làm dễ hơn}
mình có 1 cách khá độc đáo
ta có: $x^3=[\frac{x(x+1)}{2}]^2-[\frac{x(x-1)}{2}]^2$
=> $1^3=[\frac{1(1+1)}{2}]^2-[\frac{1(1-1)}{2}]^2$
$2^3=[\frac{2(2+1)}{2}]^2-[\frac{2(2-1)}{2}]^2$
.....
$n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2-[\frac{n(n-1)}{2}]^2$
=> $1^3+2^3+...+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2$
Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6
MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!
Lớp 6 à, cho phép sử dụng công thức này, lạ là đội tuyển xài khỏi chứng minh mà chứng minh thì không biết
$1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2=...$
Còn cách khác nữa để tính tổng này
Khai triển lũy thừa bậc 4 ta có
$1^{4}$
$2^{4}=\left ( 1+1 \right )^{4}=1^{4}+4.1^{3}.1+6.1^{2}.1^{2}+4.1.1^{3}+1^{4}$
$3^{4}=\left ( 2+1 \right )^{4}=2^{4}+4.2^{3}.1+6.2^{2}.1^{2}+4.2.1^{3}+1^{4}$
...
$\left ( n+1 \right )^{4}=n^{4}+4.n^{3}.1+6.n^{2}.1^{2}+4.n.1^{3}+1^{4}$
Cộng các đẳng thức trên rồi thu gọn (để ý những sự giản lược) ta được
$\left ( n+1 \right )^{4}=4\sum_{k=1}^{n}k^{3}+6\sum_{k=1}^{n}k^{2}+4\sum_{k=1}^{n}+n-1$
Các tổng trên đã biết hết nên thay vào dễ dàng tính được $\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4}$
*Cách này trâu bò nhỉ! Chắc lớp 7,8
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
Tính tổng $S= 1^3 + 2^3 + 3^3 +....+ n^3$
Bài toán tính tổng nhưng theo phương pháp của HS lớp 6
MOD: Vui lòng gõ yêu cầu đề bài vào nội dung bài viết!
Không biết cách này lớp 6 dùng được không nhỉ???
Lời giải:
Ta cần tìm đa thức bậc bốn $f(x)$ sao cho $f(x)-f(x-1)=x^3$ ($1$)
Giả sử $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a\neq 0)$
Thay vào ($1$) ta được:
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-[a(x-1)^4+b(x-1)^3+c(x-1)^2+d(x-1)+e]=x^3$
$\Leftrightarrow ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(ax^4-4ax^3+6ax^2-4ax+a+bx^3-3bx^2+3bx-b+cx^2-2cx+c+dx-d+e)=x^3$
$\Leftrightarrow 4ax^3+(-6a+3b)x^2+(4a-3b+2c)x-a+b-c+d=x^3$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a=1\\ -6a+3b=0\\ 4a-3b+2c=0\\ -a+b-c+d=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{4}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{4}\\ d=0 \end{matrix}\right.$
Do đó: $f(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2+e(e\in \mathbb{R})$ ($2$)
Cho $x=1;2;3;...;n$ lần lượt thay vào ($1$), rồi cộng vế theo vế và áp dụng ($2$) ta được:
$1^3+2^3+...+n^3=f(n)-f(0)=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$
Vậy $1^3+2^3+...+n^3=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
13 công thức tổng quát tính tổng các dãy số :
link:
(quan trọng)
bạn cho mình xin link download đc ko bạn???????
What doesn't kill you makes you stronger
Chú ý $x^{3}-x=x(x-1)(x+1)$ . Thêm bớt 1;2;...;n $S=1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)+(1+2+...+n)$.
Ta được bài toán quen thuộc Tính $1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)$
Khó khăn bạn gặp hôm nay sẽ làm tăng thêm sức mạnh bạn cần cho ngày mai. Đừng bỏ cuộc
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh