anh có thể cho em xin tài liệu luyện thi olympic phần đại số được không, em đang cần gấp, cảm ơn anh nhiều ạXem ra các bạn trẻ không ham hố gì mấy việc trao đổi thế này nhỉ
Thế thì hai bạn già trao đổi vậy
Câu 1: Chính xác đây là câu 5 đề thi năm 2009 và nó cũng có trong quyển Đại số của Jean (Mình thấy hầu như năm nào cũng có một bài trong đây nhá )
Bài này giải như sau (hình như là cách làm theo đáp án ):
Chọn $B=A\Rightarrow det(A)=0$
Chọn $B=(b_{ij})=\left\{ \begin{array}{1}b_{11}=0\\b_{ij}=0(i>j)\\b_{ii}=1-a_{ii}(i>1)\\b_{ij}=-a_{ij}(i<j) \end{array} \right.$
Với $A=(a_{ij})$
(Viết ra và theo giả thiết) ta được $a_{11}=0$
Khi đổi chỗ hàng hoặc cột,của định thức cho nhau thì định thức chỉ đổi dấu nên ta có thể đổi chỗ sao cho phần tử $a_{ij}$ bất kì ở vị trí của $a_{11}$ (tức là ở hàng 1 cột 1) và bằng cách chọn $B$ tương tự ta chỉ ra được $a_{ij}=0$
Vậy $A=0$
Bài 2: Cách làm tương tự
Nhận xét: với loại bài mà có "thỏa mãn với mọi B" kiểu như trên thì việc chọn B đặc biệt rất có thể sẽ suy ra được điều gì đó
Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Đại số]
#21
Đã gửi 04-11-2012 - 00:05
- Giang Giang yêu thích
#22
Đã gửi 10-11-2012 - 20:53
bạn chỉ cần chỉ ra Tr(AB-BA)=0 mà Tr(C) là (a,-a)Bài 201:
Ta có Tr(AB - BA) = 0 nên ma trận $C=AB-BA=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}$
Ta có:
$C^{2}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^{2}+bc & 0\\ 0 & a^{2}+bc \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).I$
$C^{3}=(a^{2}+bc).\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a & b\\ c & -a \end{bmatrix}=(a^{2}+bc).A$
$C^{4}=(a^{2}+bc)^{2}.I$
$C^{5}=(a^{2}+bc)^{2}.A$
Quy nạp lên ta có:
$C^{2k}=(a^{2}+bc)^{k}.I$
$C^{2k+1}=(a^{2}+bc)^{k}.A$
Như vậy để $(AB-BA)^{n}=I\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+bc=1\\ n=2k \end{matrix}\right.$
Tới đây có lẻ được rồi nhỉ!
.........................................................
Chúc cả nhả vui vẻ!
Mình không hiểu ý bài bạn nêu lắm. Nếu tồn tại thì có thể chỉ ra luôn A là ma trân toàn số 0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 10-11-2012 - 21:05
- funcalys yêu thích
#23
Đã gửi 06-12-2012 - 19:39
CHo A là ma trận vuông cấp n thoả mãn An+1=0, Chứng minh rằng An =0
#24
Đã gửi 06-12-2012 - 20:37
Cho mình hỏi bài tập này:
CHo A là ma trận vuông cấp n thoả mãn An+1=0, Chứng minh rằng An =0
Bài này mình nhớ không nhầm thì được dùng luôn như là lí thuyết thì phải, chứng mính khá là khó, một dạng phát biểu khác của nó là "một ma trận lũy linh thì bậc lũy linh không vượt quá cấp của ma trận"
- nguyenhtctb và letrongvan thích
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#25
Đã gửi 07-12-2012 - 01:15
1/Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 =0. Chứng minh rằng Tr(A)=0
2/ Cho A là ma trận vuông cấp n có các phần tử là các số thực dương thoả mãn tổng tất cả các phần tử trên cùng 1 cột nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng E-A là ma trận khả nghịch
#26
Đã gửi 08-01-2013 - 20:06
Ma trận trực giao $M$ là ma trận thỏa: $MM^t=M^tM=I$ với $I$ là ma trận đơn vị.
Cho $A,B$ là hai ma trận trực giao sao cho $\det(A)=-det(B) $
Chứng minh $\det(A+B)=0$
- vo van duc yêu thích
#27
Đã gửi 09-01-2013 - 21:30
Bài thứ n: (Gửi anh Đức )
Ma trận trực giao $M$ là ma trận thỏa: $MM^t=M^tM=I$ với $I$ là ma trận đơn vị.
Cho $A,B$ là hai ma trận trực giao sao cho $\det(A)=-det(B) $
Chứng minh $\det(A+B)=0$
Ta có:
$\det (A+B)=\det (A+B)^{T}=\det (A^{T}+B^{T})$ $(*)$
Vì $A$ trực giao nên $\det A=\pm 1\neq 0$
Từ $(*)$ suy ra
$\det A.\det (A+B)=\det A.\det (A^{T}+B^{T})$
$=\det (AA^{T}+AB^{T})$
$=\det (I+AB^{T})$
$=\det (I+AB^{T})^{T}$
$=\det (I+BA^{T})$
$=\det B.\det (A^{T}+B^{T})$
$=-\det A.\det (A+B)$
Suy ra $\det A.\det (A+B)=0$
Mà $\det A=\pm 1\neq 0$ từ nên $\det (A+B)=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-01-2013 - 10:46
- phudinhgioihan và Phuong Thu Quoc thích
#28
Đã gửi 13-03-2013 - 13:44
Cho ma trận vuông cấp 2 A. chứng minh rằng $A^{k}=0$ khi và chỉ khi $A^{2}=0$Bài này mình nhớ không nhầm thì được dùng luôn như là lí thuyết thì phải, chứng mính khá là khó, một dạng phát biểu khác của nó là "một ma trận lũy linh thì bậc lũy linh không vượt quá cấp của ma trận"
Cái này không còn trên lý thuyết mà là bài thi
Mọi người chỉ giáo bài này với. hi
Tào Tháo
#29
Đã gửi 13-03-2013 - 14:04
Với ma trận vuông cấp 2 ta có thể xử lý một cách trực quan hơn trường hợp cấp n.
* $A^{2}=O\Rightarrow A^{k}=O$ với $k> 2$ là hiển nhiên.
* Giả sử $A^{k}=O$ với $k>2$ suy ra $\det A=0$
Với $A$ là ma trận vuông cấp 2 bất kỳ ta có
$A^{2}-tr(A).A+\det A=O$
Suy ra $A^{2}=tr(A).A$ $(*)$
Suy ra $A^{k}=(tr(A))^{k-1}.A$
Vì $A^{k}=O$ nên $tr(A)=0$ hoặc $A=O$
Từ $(*)$ suy ra $A^{2}=O$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 23-07-2013 - 12:34
#30
Đã gửi 13-03-2013 - 17:40
$A^{2}-tr(A).A+det(A)=0$ chỗ này em không hiểu!Với ma trận vuông cấp 2 ta có thể xử lý một cách trực quan hơn trường hợp cấp n.
* $A^{2}=O\Rightarrow A^{k}=O$ với $k> 2$ là hiển nhiên.
* Giả sử $A^{k}=O$ với $k>2$ suy ra $\det A=0$
Với $A$ là ma trận vuông cấp 2 bất kỳ ta có
$A^{2}-tr(A).A+\det A=O$
Suy ra $A^{2}=tr(A).A$ $(*)$
Suy ra $A^{k}=(tr(A))^{k-1}.A$
Vì $A^{k}=O$ nên $tr(A)=0$ hoặc $A=O$
Từ $(*)$ suy ra $A^{2}=O$
Tào Tháo
#31
Đã gửi 13-03-2013 - 19:18
THE $59^{th}$ ROMANIAN MATHEMATICAL OLYMPIAD DISTRICT ROUND (March $5^{th},2008$)
$11^{th}$ GRADE
Problem 1. If $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, show that $$\det (A^2+A+I_2)\ge \dfrac{3}{4}(1-\det A)^2$$
Problem 2. Consider $A,B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Show that $\text{rank} A+\text{rank} B\le n$ if and only if there exists an invertible matrix $X\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, such that $AXB=O_n$.
THE $59^{th}$ ROMANIAN MATHEMATICAL OLYMPIAD FINAL ROUND (April $30^{th},2008$)
$11^{th}$ GRADE
Problem 2: Prove that an invertible matrix $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ has the property $A^{-1}=\overline{A}$ if and only if there exists an invertible matrix $B\in \mathcal{M}(\mathbb{C})$ such that $A=B^{-1}.\overline{B}$.
Problem 4. Let $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ be an antisymmetric matrix ($\forall i,j, a_{ij}+a_{ji}=0$). Prove that $$\det (A+xI_n).\det (A+yI_n)\ge \det (A+\sqrt{xy}I_n)^2$$
Chúc các bạn ôn thi tốt!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 13-03-2013 - 19:27
- phudinhgioihan và luuvanthai thích
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#32
Đã gửi 13-03-2013 - 19:23
$A^{2}-tr(A).A+det(A)=0$ chỗ này em không hiểu!
Ma trận $A$ là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó
Với $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ thì đa thức đặc trưng của nó là $P_A=x^2-(a+d)x+(ad-bc)=x^2-tr(A)x+\det (A)$
Do đó ta có điều bạn thắc mắc.
P/s: Thật ra, nếu bạn không nhớ tính chất trên thì bạn có thể thay trực tiếp vào tính toán bình thường cũng sẽ thấy, ma trân cấp 2 thì tính toán cũng nhẹ nhàng mà!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 13-03-2013 - 19:25
- letrongvan và thaivietvu thích
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#33
Đã gửi 13-03-2013 - 20:40
OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like
#34
Đã gửi 14-03-2013 - 01:46
Thực ra cái tính chất kia mới được học hồi tối nayMa trận $A$ là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó
Với $A\in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ thì đa thức đặc trưng của nó là $P_A=x^2-(a+d)x+(ad-bc)=x^2-tr(A)x+\det (A)$
Do đó ta có điều bạn thắc mắc.
P/s: Thật ra, nếu bạn không nhớ tính chất trên thì bạn có thể thay trực tiếp vào tính toán bình thường cũng sẽ thấy, ma trân cấp 2 thì tính toán cũng nhẹ nhàng mà!
Tào Tháo
#35
Đã gửi 31-03-2013 - 09:29
Cho mình hỏi bài tập này:
CHo A là ma trận vuông cấp n thoả mãn An+1=0, Chứng minh rằng An =0
Bài này dựa vào đa thức cực tiểu của ma trận và đa thức đặc trưng là được! Cụ thể như sau:
Gọi $P_A(t)$ là đa thức đặc trưng của $A$, ta suy ra được $\deg P_A(t) = n$ và $P_A(A) = 0$.
Gọi $f(t)$ là đa thức cực tiểu của $A$, thì ta có $f(A) = 0$ và với gọi đa thức $g(t)$ thỏa $g(A) = 0$ thì $f(t)$ chia hết $g(t)$.
Khi đó, theo giả thiết đề bài ta có $f(t)$ là ước của đa thức $g(t) = t^{n_1}$, nên $f(t)$ có dạng $f(t) = t^k, k \leq n+1$. Mặt khác, $f(t)$ cũng chia hết $P_A(t)$ nên suy ra $k = \deg f(t) \leq \degP_A(t) = n$ nên ta suy ra $f(t) = t^k, k \leq n$. Hay $A^k = 0$ với $k \leq n$ nên suy ra $A^{n} = 0$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hồng Minh: 31-03-2013 - 09:30
.:. Phạm Hồng Minh .:. - .:. MathAGU .:.
.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.
#36
Đã gửi 08-10-2014 - 21:52
anh lập topic 2015 đi anh
Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$
$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$
$Av_S=\varphi(v)_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.
$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$
$v_S=Pv_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
https://web.facebook...73449309343792/
nhóm olp 2016
#37
Đã gửi 17-01-2015 - 16:30
Help me!
Giả sử A,B là các ma trận vuông cấp n lẻ và AB=0. Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 ma trận A + AT , B + BT suy biến
- quangbinng yêu thích
#38
Đã gửi 17-01-2015 - 16:32
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh