Chủ đề này có 1 trả lời

[hxthanh]

Một sự mở rộng cho công thức khai triển nhị thức Newton cho $n$ biến

$(a_1+a_2+...+a_n)^r=\sum_{k_1+k_2+...+k_n=r} \dfrac{r!}{k_1!k_2!...k_n!}a_1^{k_1}a_2^{k_2}...a_n^{k_n}$

_________________

Hãy chứng minh công thức trên!

[hxthanh]

Cách chứng minh bằng quy nạp của bạn là đúng đắn và chặt chẽ rồi! Mình có một cách chứng minh có vẻ "hiển nhiên" hơn một chút.

$\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^r=\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\left(a_1+a_2+...+a_n\right)...\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\quad\text{( $r$ nhân tử )}$

Theo quy tắc nhân (tích Descartes), để có một số hạng $a_1^{k_1}a_2^{k_2}...a_n^{k_n}$ trong đó $k_1+k_2+...+k_n=r$ ta phải chia $r$ nhân tử ra thành $n$ nhóm: Nhóm $1$ có $k_1$ nhân tử, nhóm $2$ có $k_2$ nhân tử, ..., nhóm $n$ có $k_n$ nhân tử.
Trong nhóm $1$ nhân các số hạng $a_1$ với các số hạng $a_2$ của nhóm $2$ với ... với các số hạng $a_n$ của nhóm $n$ để được số hạng của khai triển.
Như vậy số các cách chia nhóm chính là số các số hạng có dạng trên, và cũng là số tổ hợp lặp chập $k_1,k_2,...,k_n$ của $r$ phần tử:
$=\dfrac{r!}{k_1!k_2!...k_n!}$
Lấy tổng theo tất cả các trường hợp thoả $k_1+k_2+...+k_n=r$ ta có điều cần chứng minh.

Muốn biết vế phải của khai triển có bao nhiêu số hạng, hay nói cách khác là phương trình $k_1+k_2+...+k_n=r$ có bao nhiêu nghiệm tự nhiên, ta có thể dùng cách chia kẹo của Eurler. Ta có:
$(k_1+1)+(k_2+1)+...+(k_n+1)=i_1+i_2+...+i_n=r+n$
Như vậy có thể hiểu là có bao nhiêu cách chia $r+n$ cái kẹo cho $n$ em, em nào cũng có kẹo.
Xếp $r+n$ cái kẹo trên một hàng, giữa chúng có $r+n-1$ khoảng cách. Lấy $n-1$ cái "que" | đặt vào những khoảng cách ấy để chia thành $n$ phần tương ứng với $n$ em. Có $C_{r+n-1}^{n-1}$ cách thực hiện công việc này.
Nghĩa là tổng trên có tất cả $C_{r+n-1}^{n-1}$ số hạng.
Trong trường hợp $n=2$ thì rõ ràng $C_{r+n-1}^{n-1}=C_{r+1}^{1}=r+1$ số hạng.