Chủ đề này có 13 trả lời

[THUYKIEU2012]

$S=\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}$

[Ispectorgadget]

$S=\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}$

Xét phương trình $\cos 4x=\cos 3x \Leftrightarrow (\cos x-1)(8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1)=0$
$\Leftrightarrow \cos x=1\vee 8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1=0$
Nhận thấy $t_1=2\cos \frac{2\pi}{7};t_2=2\cos \frac{4\pi}{7};t_3=2\cos\frac{6\pi}{7}$ là nghiệm của phương trình $t^3+t^2-2t-1=0$
Theo định lý Viet ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} + {t_3} = - 1\\
{t_1}{t_2} + {t_3}{t_2} + {t_1}{t_3} = - 2\\
{t_1}{t_2}{t_3} = 1
\end{array} \right.\]
Đặt $A=\sqrt[3]{t_1}+\sqrt[3]{t_2}+\sqrt[3]{t_3}$
$B=\sqrt[3]{t_1t_2}+\sqrt[3]{t_3t_2}+\sqrt[3]{t_1t_3}$
Ta có $A^3=3AB-4$ và $B^3=3AB-5$
$\Rightarrow A^3B^3=(3AB-4)(3AB-5)\Rightarrow (AB-3)^3+7=0\Rightarrow AB=3-\sqrt[3]{7}$
$\Rightarrow A^3=5-3\sqrt[3]{7}\Rightarrow A=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}$

[batigoal]

Xét phương trình $\cos 4x=\cos 3x \Leftrightarrow (\cos x-1)(8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1)=0$
$\Leftrightarrow \cos x=1\vee 8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1=0$
Nhận thấy $t_1=2\cos \frac{2\pi}{7};t_2=2\cos \frac{4\pi}{7};t_3=2\cos\frac{6\pi}{7}$ là nghiệm của phương trình $t^3+t^2-2t-1=0$
Theo định lý Viet ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} + {t_3} = - 1\\
{t_1}{t_2} + {t_3}{t_2} + {t_1}{t_3} = - 2\\
{t_1}{t_2}{t_3} = 1
\end{array} \right.\]
Đặt $A=\sqrt[3]{t_1}+\sqrt[3]{t_2}+\sqrt[3]{t_3}$
$B=\sqrt[3]{t_1t_2}+\sqrt[3]{t_3t_2}+\sqrt[3]{t_1t_3}$
Ta có $A^3=3AB-4$ và $B^3=3AB-5$
$\Rightarrow A^3B^3=(3AB-4)(3AB-5)\Rightarrow (AB-3)^3+7=0\Rightarrow AB=3-\sqrt[3]{7}$
$\Rightarrow A^3=5-3\sqrt[3]{7}\Rightarrow A=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}$

Ý tưởng này khá hay. Mời Kiên và các bạn làm thử bài sau với cách làm tương tự bằng cách xây dựng nghiệm của phương trình bậc bốn. Chứng minh rằng $$\sin\frac{2\pi }{15}+\sin\frac{4\pi }{15}+\sin\frac{8\pi }{15}+\sin\frac{16\pi }{15}=\frac{\sqrt{15}}{2} $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi batigoal: 31-12-2012 - 08:31

[nthoangcute]

Ý tưởng này khá hay. Mời Kiên và các bạn làm thử bài sau với cách làm tương tự bằng cách xây dựng nghiệm của phương trình bậc bốn. Chứng minh rằng $$\sin\frac{2\pi }{15}+\sin\frac{4\pi }{15}+\sin\frac{8\pi }{15}+\sin\frac{16\pi }{15}=\frac{\sqrt{15}}{2} $$

1. Dễ thấy $$\sin\frac{2\pi }{15},\sin\frac{4\pi }{15},\sin\frac{8\pi }{15},\sin\frac{16\pi }{15}$$ là nghiệm của phương trình:$$k^4-\dfrac{\sqrt{15}}{2}k^3+k^2-\dfrac{1}{16}=0$$
2. Suy ra $$\sin\frac{2\pi }{15}+\sin\frac{4\pi }{15}+\sin\frac{8\pi }{15}+\sin\frac{16\pi }{15}=\frac{\sqrt{15}}{2} $$
3. Kết luận

[batigoal]

1. Dễ thấy $$\sin\frac{2\pi }{15},\sin\frac{4\pi }{15},\sin\frac{8\pi }{15},\sin\frac{16\pi }{15}$$ là nghiệm của phương trình:$$k^4-\dfrac{\sqrt{15}}{2}k^3+k^2-\dfrac{1}{16}=0$$

Em hãy chứng minh cụ thể cái dễ thấy ... là nghiệm pt bậc 4 đi xem nào. Anh nghĩ nó không dễ thấy đâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi batigoal: 21-01-2013 - 13:47

[batigoal]

1. Dễ thấy $$\sin\frac{2\pi }{15},\sin\frac{4\pi }{15},\sin\frac{8\pi }{15},\sin\frac{16\pi }{15}$$ là nghiệm của phương trình:$$k^4-\dfrac{\sqrt{15}}{2}k^3+k^2-\dfrac{1}{16}=0$$

Em giải cụ thể bước lập ra phương trình bậc bốn đó anh xem nhé. Cảm ơn em.

[nthoangcute]

Em giải cụ thể bước lập ra phương trình bậc bốn đó anh xem nhé. Cảm ơn em.

Cách 1:
0. Trời. Chết em rồi !!!
1. Trước hết, ta có các đẳng thức sau:
1.1: $$\sin \dfrac{2 \pi}{15}= -\dfrac{1}{8}\sqrt {3} \left( -1-\sqrt {5} \right) -\dfrac{1}{8}\sqrt {10-2\sqrt {
5}}$$
1.2: $$\sin \dfrac{4 \pi}{15}=-\dfrac{1}{8}\sqrt {3} \left( -1-\sqrt {5} \right) +\dfrac{1}{8}\sqrt {10+2\sqrt {
5}}$$
1.3: $$\sin \dfrac{8 \pi}{15}=\dfrac{1}{8}\sqrt {3} \left( -1-\sqrt {5} \right) +\dfrac{1}{8}\sqrt {10-2\sqrt {5
}}$$
1.4: $$\sin \dfrac{16 \pi}{15}=-\dfrac{1}{8}\sqrt {3} \left( 1-\sqrt {5} \right) -\dfrac{1}{8}\sqrt {10+2\sqrt {5
}}$$
2. Suy ra $\sin \dfrac{ 2 \pi}{15}$ và $\sin \dfrac{8 \pi}{15}$ là nghiệm của phương trình: $$16x^2-4\sqrt{3}(1+\sqrt{5})x+2+2\sqrt{5}=0$$
3. Suy ra $\sin \dfrac{ 4 \pi}{15}$ và $\sin \dfrac{16 \pi}{15}$ là nghiệm của phương trình: $$16x^2+4\sqrt{3}(1-\sqrt{5})x+2-2\sqrt{5}=0$$
4. Suy ra $\sin \dfrac{ 2 \pi}{15}$ và $\sin \dfrac{8 \pi}{15}$ và $\sin \dfrac{ 4 \pi}{15}$ và $\sin \dfrac{16 \pi}{15}$ là nghiệm của phương trình:
$$(16x^2-4\sqrt{3}(1+\sqrt{5})x+2+2\sqrt{5})(16x^2+4\sqrt{3}(1-\sqrt{5})x+2-2\sqrt{5})=0$$
5. Tương đương với $$256x^4-128\sqrt{15}x^3+256x^2-16=0$$

[batigoal]

Cách 1:
0. Trời. Chết em rồi !!!
1. Trước hết, ta có các đẳng thức sau:
1.1: $$\sin \dfrac{2 \pi}{15}= -\dfrac{1}{8}\sqrt {3} \left( -1-\sqrt {5} \right) -\dfrac{1}{8}\sqrt {10-2\sqrt {
5}}$$
1.2: $$\sin \dfrac{4 \pi}{15}=-\dfrac{1}{8}\sqrt {3} \left( -1-\sqrt {5} \right) +\dfrac{1}{8}\sqrt {10+2\sqrt {
5}}$$
1.3: $$\sin \dfrac{8 \pi}{15}=\dfrac{1}{8}\sqrt {3} \left( -1-\sqrt {5} \right) +\dfrac{1}{8}\sqrt {10-2\sqrt {5
}}$$
1.4: $$\sin \dfrac{16 \pi}{15}=-\dfrac{1}{8}\sqrt {3} \left( 1-\sqrt {5} \right) -\dfrac{1}{8}\sqrt {10+2\sqrt {5
}}$$

Cảm ơn em đã trình bày cách 1. Anh có vài trao đổi với em như sau.
1. Hình như ở cách 1 em dùng phần mềm tính toán nên mới tính ra các con số trên nhanh và đẹp như vậy. Vấn đề khi vào phòng thi không có phần mềm thì em sẽ làm thế nào ?
2. Em trình bày nốt cách 2 nhé , vì anh cũng rất quan tâm tới những bài toán như thế này. Cảm ơn em.

[nthoangcute]

Cảm ơn em đã trình bày cách 1. Anh có vài trao đổi với em như sau.
1. Hình như ở cách 1 em dùng phần mềm tính toán nên mới tính ra các con số trên nhanh và đẹp như vậy. Vấn đề khi vào phòng thi không có phần mềm thì em sẽ làm thế nào ?
2. Em trình bày nốt cách 2 nhé , vì anh cũng rất quan tâm tới những bài toán như thế này. Cảm ơn em.

0. Em vừa mới học đẳng thức lượng giác xong (học chậm), còn chưa biết biến đổi như nào nữa. Em đành phải chém liều thôi !!!
1. Bổ đề: $$\sin \dfrac{\pi}{10}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$$
2. Chứng minh bổ đề: Đặt $$k=\sin \dfrac{\pi}{10}$$
3. Áp dụng đẳng thức: $$\cos \dfrac{\pi}{5}=\sin \frac{3 \pi}{10}\\
\cos \dfrac{\pi}{5}=1-2k^2\\
\sin \frac{3 \pi}{10}=3k-4k^3
$$
4. Ta được $$1-2k^2=3k-4k^3\\\Leftrightarrow 4k^2+2k-1=0\\\Leftrightarrow k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$$
5. Chứng minh xong bổ đề
6. Ta đặt $$x=\sin \dfrac{\pi}{15}$$
7. Ta được: $$t=\sin \dfrac{\pi}{30}=2x \sqrt{1-x^2}\\
\sin \dfrac{\pi}{10}= 3t-4t^3
$$
8. Ta tìm được $$8t^2+2(1+\sqrt{5})t-3+\sqrt{5}=0$$
9. Suy ra $$t=\dfrac{1}{8}(-1-\sqrt{5}+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}$$
10. Suy ra $$x=...$$
11. Ta tìm được các giá trị 1.1,1.2,1.3,1.4 như trên
_____________
P/s: Hơi dài. Em định biến đổi trực tiếp mà không thông qua căn thức ! Nhưng mà khó quá !!! (Chưa học)
Em sẽ cố kiếm cách 2

[nthoangcute]

2. Em trình bày nốt cách 2 nhé , vì anh cũng rất quan tâm tới những bài toán như thế này. Cảm ơn em.

Cách 2:
1. Bổ đề 1: $$\sin x+\sin y =2 \sin \dfrac{x+y}{2} \cos \dfrac{x-y}{2}$$
2. Chứng minh bổ đề: $sgk$
3. Bồ đề 2: $$\sin \dfrac{\pi}{10}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$$
4. Chứng minh bổ đề: như trên
5. Áp dụng ta được: $$\sin \dfrac{2\pi}{15}+\sin \dfrac{8\pi}{15}=\sqrt{3} \cos \dfrac{\pi}{5}=\sqrt{3} (1-2 \sin^2 \dfrac{\pi}{10})=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4}$$
6. Tương tự suy ra kết quả
_______________
P/s: Nhanh hơn nhiều !!! Liệu có bài tổng quát ?

[batigoal]

Cảm ơn em. Rất tuyệt vời, cách2 ngắn hơn nhiều cách 1, tuy nhiên anh lại thích cách 1 hơn vì đối với anh nó mang nhiều ý nghĩa.
Bổ đề 1: Còn chứng minh bằng cách khác như sau :
Ta có $\sin 36^0=\cos 54^0$ tương đương $ 2\sin 18^0.\cos 18^0=4\cos ^3 18^0-3\cos 18^0$ tương đương $ \cos 18^0(4\cos ^2 18^0-2\sin 18^0-3 )=0$.
Vì $\cos 18^0\neq 0$ nên ta có $4\cos ^2 18^0-2\sin 18^0-3=0 $ hay $ 4(1-\sin ^2 18^0)-2\sin 18^0-3=0$. Đến đây ta có $sin 18^0=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

PS: Trên đây anh mới tìm ra đẳng thức $$\sin\frac{2\pi }{15}+\sin\frac{4\pi }{15}+\sin\frac{8\pi }{15}+\sin\frac{16\pi }{15}=\frac{\sqrt{15}}{2} $$ vậy em và các bạn khác có đẳng thức nào khác tương tự không. Post lên chia sẻ cùng mọi người.

[Primary]

Bài toán này đã được tổng quát lên rồi mà

[batigoal]

Bài toán này đã được tổng quát lên rồi mà

Vậy em hãy đưa ra tổng quát cho nó đi.

[batigoal]

Em kiểm tra lại nhé. Đoạn này của em bị nhầm rồi.

6. Ta đặt $$x=\sin \dfrac{\pi}{15}$$
7. Ta được: $$t=\sin \dfrac{\pi}{30}=2x \sqrt{1-x^2}$$

Và từ đó sao lại tìm ra được $$8t^2+2(1+\sqrt{5})t-3+\sqrt{5}=0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi batigoal: 22-01-2013 - 10:59