Đến nội dung

Hình ảnh

[MO2013] Trận 8 - PT, BPT, HPT, HBPT


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 16 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 12/10/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 8 có 28 toán thủ tham gia nên sau trận này, 02 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

4) Từ trận 8, điều lệ có sự thay đổi:

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Đề bài: Giải phương trình:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)(x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$$

Thời gian làm bài tính từ lúc 20h 12/10/2012

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:09

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#3
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình:
$$$A=1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}$=0$$

Thời gian làm bài tính từ lúc 20h 12/10/2012

Toán thủ MO37 xin phép làm bài:
Đặt $A=1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}$
Ta có:
$A=1-\dfrac{x}{1}+\dfrac{x(x-1)}{1.2}-\dfrac{x(x-1)(x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\dfrac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \binom{x}{k} = (-1)^n\binom{x-1}{n}=(-1)^n.\dfrac{(x-1)(x-2)...(x-n)}{n!}$
Để $A=0$ thì $x=\left \{ 1;2;...;n \right \}$
Vậy phương trình đã cho có $n$ nghiệm phân biệt.Tập nghiệm của phương trình là $\left \{ ;1;2;...;n \right \}$

S=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:11

Hình đã gửi


#4
LeHoangAnh1997

LeHoangAnh1997

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 14 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$$

Thời gian làm bài tính từ lúc 20h 12/10/2012

Em xin giải như sau:

Gọi $X=1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}$
Ta có:
$X=1-\dfrac{x}{1}+\dfrac{x(x-1)}{1.2}-\dfrac{x(x-1)(x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\dfrac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \binom{x}{k} = (-1)^n\binom{x-1}{n}=(-1)^n.\dfrac{(x-1)(x-2)...(x-n)}{n!}$
Vậy phương trình đã cho có $n$ nghiệm phân biệt $\left \{ ;1;2;...;n \right \}$

S=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:11


#5
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$$

Thời gian làm bài tính từ lúc 20h 12/10/2012

Trước hết ta chứng minh:
$$S_{n}=1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=(-1)^n.\frac{(x-1)(x-2)...(x-n)}{n!}$$
(với $n$ nguyên dương)
Thật vậy, ta sẽ chứng minh theo quy nạp toán học:
_____________
Với $n=1$ thì $S_1=1-x$ (đúng)
Với $n=2$ thì $S_2=\dfrac{(x-1)(x-2)}{2} $ (đúng)
Với $n=3$ thì $S_3=-\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{6}$ (đúng)
Vậy, sẽ phải tồn tại với $n=k$ ($k \in N^*$) để đẳng thức trên đúng hay $S_k=(-1)^k.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k)}{k!}$
Đẳng thức được chứng minh nếu với $n=k+1$ thì đẳng thức trên cũng đúng hay $S_{k+1}=(-1)^{k+1}.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k-1)}{(k+1)!}$
Thật vậy, ta thấy rằng:
$S_{k}- S_{k+1}$
$=(-1)^k.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k)}{k!}- (-1)^{k+1}.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k-1)}{(k+1)!}$
$=(-1)^k(\frac{(x-1)(x-2)...(x-k)}{k!}+\frac{(x-1)(x-2)...(x-k-1)}{(k+1)!})$
$=(-1)^k.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k)(k+1+x-k-1)}{k!}$
$=(-1)^k.\frac{x(x-1)(x-2)...(x-k)}{k!}$
Suy ra điều phải chứng minh.
_____________
Trở lại với bài toán gốc:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$$
$$\Leftrightarrow (-1)^n.\frac{(x-1)(x-2)...(x-n)}{n!}=0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)...(x-n)=0$$
$$\Leftrightarrow x =1\; \vee\; x=2 \;\vee\; x=3\; \vee\; ...\;\vee \;x=n$$
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
$S=\{t|t \in Z, 1 \leq t \leq n\}$

Chỗ này viết thế là sai về ý nghĩa

Vậy, sẽ phải tồn tại với $n=k$ ($k \in N^*$) để đẳng thức trên đúng hay $S_k=(-1)^k.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k)}{k!}$


Em coi 1 ví dụ trong sách TLCT ĐS 10, cũng có 1 ví dụ về việc này.
Trong quy nạp, phải là "Giả sử đpcm đúng đến $n$", chứ không phải "đúng với $n$"
D-B=0.8h
E=8
F=0
S=49

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:18

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#6
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$$

Thời gian làm bài tính từ lúc 20h 12/10/2012

Đầu tiên ta sẽ chứng minh đẳng thức sau:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=(-1)^n.\frac{(x-1)(x-2)...(x-n)}{n!}$$
Thật vậy khi $n=1$ thì đẳng thức trở thành:
$$1-x=-1.\frac{x-1}{1}\,\,\,(True)$$
Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$ tức là:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^k.\frac{x(x-1)...(x-k+1)}{k!}=(-1)^k.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k)}{k!}\,\,(*)$$
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$ hay là:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^{k+1}.\frac{x(x-1)...(x-k)}{(k+1)!}=(-1)^{k+1}.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k-1)}{(k+1)!}$$
Thật vậy từ $(*)$ thì ta cần chứng minh:
$$(-1)^k.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k)}{k!}+(-1)^{k+1}.\frac{x(x-1)...(x-k)}{(k+1)!}=(-1)^{k+1}.\frac{(x-1)(x-2)...(x-k-1)}{(k+1)!}$$
$$\Leftrightarrow (k+1)(x-1)(x-2)...(x-k)-x(x-1)...(x-k)=-(x-1)(x-2)...(x-k-1)$$
$$\Leftrightarrow (k+1)(x-1)(x-2)...(x-k)=x(x-1)...(x-k)-(x-1)(x-2)...(x-k-1)$$
$$\Leftrightarrow (k+1)(x-1)(x-2)...(x-k)=(x-1)...(x-k)[x-(x-k-1)]$$
$$\Leftrightarrow (k+1)(x-1)(x-2)...(x-k)=(x-1)...(x-k)(k+1)$$
(Luôn đúng)
Quay trở lại bài toán,áp dụng đẳng thức trên ta có phương trình tương đương:
$$(-1)^n.\frac{(x-1)(x-2)...(x-n)}{n!}=0$$
$$\Leftrightarrow x\in \begin{Bmatrix}1;2;3....;n \end{Bmatrix}$$
Vậy phương trình đã ch0 có $n$ nghiệm:
$$x\in \begin{Bmatrix}1;2;3....;n \end{Bmatrix}$$

Chỗ này viết thế là sai về ý nghĩa

Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$

Em coi 1 ví dụ trong sách TLCT ĐS 10, cũng có 1 ví dụ về việc này.
Trong quy nạp, phải là "Giả sử đpcm đúng đến $n$", chứ không phải "đúng với $n$"

D-B=1.2h
E=8
F=0
S=49

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:20

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#7
luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$$

Thời gian làm bài tính từ lúc 20h 12/10/2012


Nhận thấy $x=1$ là 1 nghiệm của phương trình trên.

Ta sẽ CM $x=1$ là nghiệm duy nhất.

Thật vậy xét hàm số $f(x)=1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}$

Ta có $f'(x)< 0$ $\forall x$ =>Phương trình $1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0=0$ có tối đa 1 nghiệm.

=>điều phải chứng minh.

Vậy S={1}

S=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:21


#8
hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
TRước hết ta chứng minh công thức sau:
$C_{n-1}^{p}+C_{n-1}^{p-1}=C_n^p$

Chứng minh

$C_{n-1}^{p}+C_{n-1}^{p-1}$
$=\dfrac{(n-1)...(n-1-p+1)}{p!}+\dfrac{(n-1)...(n-1-(p-1)+1)}{(p-1)!}$
$=\dfrac{(n-1)...(n-p)}{p!}+\dfrac{(n-1)...(n-p+1)}{p!}.p$
$=\dfrac{(n-1)...(n-p-1)}{p!}[(n-p)+p]$
$=\dfrac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}=C^p_n$

==========
Phương trình đã cho tương đương với:
$1-C^1_n+C^2_n+...+(-1)^n_x=0$
$\Leftrightarrow (-1)^pC^n_{x-1}=0$
$\Leftrightarrow x=1$

S=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:21

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#9
Thái Vũ Hoàng Anh

Thái Vũ Hoàng Anh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
Ta sẽ chứng minh 1,2,...,n là các nghiệm của $1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)(x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$

Thật vậy:
Với $n=1$, ta có: $1-\frac{x}{1}=0 \Rightarrow x=1$
Giả sử với $n=k$, ta có $1,2,...k$ là các nghiệm của $1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^k.\frac{x(x-1)...(x-k+1)}{k!}=0$

Sẽ chứng minh $1,2,...k+1$ là các nghiệm của $1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^k.\frac{x(x-1)...(x-k)}{(k+1)!}=0$

Nhận thấy với các giá trị $1,2,..,k$ thì $(-1)^k.\frac{x(x-1)...(x-k)}{(k+1)!}=0$; kết hợp với giả thiết quy nạp ta được $1,2,...k$ là các nghiệm của $1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^k.\frac{x(x-1)...(x-k)}{(k+1)!}=0$. Cần chứng minh $k+1$ cũng là nghiệm của PT.

Thay $x=k+1$ ta có:

$1-\frac{k+1}{1}+\frac{(k+1)k}{1.2}-\frac{(k+1)k(k-1)}{1.2.3}+...+(-1)^k.\frac{(k+1)k...2.1}{(k+1)!}=0$

$\Leftrightarrow C_{k+1}^{0}-C{k+1}^{1}+....+(-1)^{k+1}.C_{k+1}^{k+1}=0$

$\Leftrightarrow (1-1)^{k+1}=0$

$\Leftrightarrow 0=0$ (Đẳng thức đúng)

$\Rightarrow k+1$ cũng là nghiệm của phương trình (đpcm)

Vậy $1,2,...,n$ là các nghiệm của $1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$. Mặt khác Phương trình trên có bậc cao nhất của $x$ là $n$ nên có không quá n nghiệm. Do đó tập nghiệm của phương trình là $S={1,2,...,n}$

Chỗ này viết thế là sai về ý nghĩa

Giả sử với $n=k$

Em coi 1 ví dụ trong sách TLCT ĐS 10, cũng có 1 ví dụ về việc này.
Trong quy nạp, phải là "Giả sử đpcm đúng đến $n$", chứ không phải "đúng với $n$"

D-B=26.3h
E=8
F=0
S=36

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:23


#10
cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 544 Bài viết

Đề bài: Giải phương trình:
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0$$

Thời gian làm bài tính từ lúc 20h 12/10/2012

Dễ thâý n là số tự nhiện khác 0.
Bằng quy nạp ta c/m đc:
$VT=\frac{(1-x)(2-x)...(n-x)}{n!}$.
Vậy $pt\Leftrightarrow \frac{(1-x)(2-x)...(n-x)}{n!}=0 \Leftrightarrow n\in$ ${1;2;...;n}$.
Vậy pt có tập nghiệm $S=\lbrace 1;2;...;n\rbrace$

Vui lòng em chứng minh

Bằng quy nạp ta c/m đc:
$VT=\frac{(1-x)(2-x)...(n-x)}{n!}$.


S=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:24

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#11
davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
Nhờ trọng tài del bài trước hộ em bài trước em làm sai

Bài giải

Theo khai triển newton ta có
$(a+b)^x=\sum_{k=0}^{x}\binom{n}{k}a^{x-k}b^k$
Cho $a=1$ $b=-1$ ta có
$\binom{x}{0}-\binom{x}{1}+\binom{x}{2}-\binom{x}{3}+...+(-1)^x\binom{x}{x}=0$
Mặt khác ta có
$$1=\binom{x}{0} \\ x=\binom{x}{1}\\\frac{x(x-1)}{1.2}=\binom{x}{2}\\
\\
... \\
\\
\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=\binom{x}{n}
$$
Từ đó đề bài tương đương với
$$\binom{x}{0}-\binom{x}{1}+\binom{x}{2}-\binom{x}{3}+...+(-1)^n\binom{x}{n}=\binom{x}{0}-\binom{x}{1}+\binom{x}{2}-\binom{x}{3}+...+(-1)^x\binom{x}{x}$$
$\Rightarrow x=n$
Vậy pt có 1 nghiệm là $x=n$

S=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:25


#12
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Trận đấu đã kết thúc,

Mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#13
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
Đề bài đâu cho $x$ nguyên dương đâu?
Một số bạn trước khi viết kí hiệu tổ hợp chập phải có dòng: "Xét $x$ nguyên dương trong khoảng $[0;n]$ ", vì $C^k_n$ chỉ tồn tại khi $k\in \mathbb{N},x\in \mathbb{N^*}$
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#14
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
Minhtuyb nói đúng đó,hình như bài này thiếu dữ kiện x nguyên.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#15
TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Lời giải chính thức: (của The Gunner)
$$1-\frac{x}{1}+\frac{x(x-1)}{1.2}-\frac{x(x-1)x-2)}{1.2.3}+...+(-1)^n.\frac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}=0 \quad (1)$$
Đặt vế trái của $(1)$ là $f_n(x)$ có bậc là $n$. Ta sẽ chứng minh phương trình $f_n(x)=0$ có nghiệm là $x_1=1,x_2=2,...,x_n=n$
Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp
Thật vậy với $n=1$ thì ta có $f_1(x)=1-x$ có nghiệm là $x_1=1$
Giả sử phương trình $f_n(x)=0$ có nghiệm là $x_1=1,x_2=2,...,x_n=n$
Ta có $f_{n+1}(x)=f_n(x)+(-1)^{n+1}.\frac{x(x-1)...(x-n+1)(x-n)}{(n+1)!}$
Suy ra $f_{n+1}(1)=f_{n}(1)+0=0$ ( giả thuyết quy nạp)
chứng minh tương tự ta có $f_{n+1}=0$ có các nghiệm $x_1=1,x_2=2,...,x_n=n$
Do đó bây giờ ta chỉ cần chứng minh$x_{n+1}=n+1$ là 1 nghiệm của $f_{n+1}=0$
Thật vậy ta có
$f_{n+1}(n+1)=1-\frac{n+1}{1}+\frac{(n+1)n}{1.2}+...+(-1)^{n+1}\frac{(n+1)n(n-1)...2.1}{n!}$
$=\binom{n+1}{0}-\binom{n+1}{1}+...+(-1)^{n+1}\binom{n+1}{n+1}$
$=(1-1)^{n+1}=0$
Do đó ta có điều phải chứng minh
Mà phương trình bậc $n$ có không quá $n$ nghiệm nên nghiệm của phương trình (1) là $x_1=1,x_2=2,...,x_n=n$

===============================
Nhận xét:
Bài không khó nhưng các toán thủ mắc lỗi là mặc nhiên xem $x$ là số tự nhiên, mà đề không hề cho dữ kiện ấy.
Một lỗi cơ bản nữa là về phép quy nạp.
Hy vọng các toán thủ sẽ chú ý hơn, không mắc những lỗi lầm đáng tiếc vậy.
===============================
Các toán thủ có thời gian cho đến hết ngày 17/10/2012 để khiếu nại về điểm số của mình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 16-10-2012 - 20:27

1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#16
Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết

Nhận xét:
Bài không khó nhưng các toán thủ mắc lỗi là mặc nhiên xem $x$ là số tự nhiên, mà đề không hề cho dữ kiện ấy.
Một lỗi cơ bản nữa là về phép quy nạp.
Hy vọng các toán thủ sẽ chú ý hơn, không mắc những lỗi lầm đáng tiếc vậy.
===============================
Các toán thủ có thời gian cho đến hết ngày 17/10/2012 để khiếu nại về điểm số của mình.

Anh cho em hỏi bài em sai chỗ nào ạ?

Hình đã gửi


#17
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Anh cho em hỏi bài em sai chỗ nào ạ?

Kí hiệu $\binom{x}{k}$ chỉ được dùng khi và chỉ khi $x,k \in \mathbb{N};0\le k\le x$.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh