Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

$ a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2} $

oldbeginner and bdtilove123!!

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-10-2012 - 18:03

Cho $ a, b, c $ là 3 số thực dương thỏa mãn $ a+b+c=3 $. CMR:
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2} $ Tổng quát hơn với cùng điều kiện như trên tìm hằng số tốt nhất sao cho bất đẳng thức này luôn đúng:
$ a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge\frac{a+k}{b+k}+\frac{b+k}{c+k}+\frac{c+k}{a+k} $
Sáng tạo bởi bdtilove123 và oldbeginner!!
http://www.artofprob...p?f=52&t=502182

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-10-2012 - 18:27


#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-10-2012 - 18:45

Không mất tính tổng quát,giả sử $c=Min(a;b;c)$.Ta có các phân tích sau:
$$VT-3=\frac{1}{3}.\left[3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2\right]$$
$$=\frac{1}{3}.2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=\frac{1}{3}.[(a-b)^2+(a-c)(b-c)]$$
Và:
$$VP-3=\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2}-3$$
$$=\frac{(a-b)^2}{(a+2)(b+2)}+\frac{(a-c)(b-c)}{(a+2)(c+2)}$$
Vậy điều phải chứng minh được viết lại thành:
$$a^2+b^2+c^2-3\geq \frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{c+2}+\frac{c+2}{a+2}-3$$
$$\Leftrightarrow (a-b)^2.\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{(a+2)(b+2)}\right)+(a-c)(b-c).\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{(a+2)(c+2)}\right)\geq 0$$
Nhưng bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng vì $c=Min(a;b;c)$ và $a+2,b+2,c+2\geq 2$
Kết thúc chứng minh.Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$ $\square$

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh