Chủ đề này có 3 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}\leq \sqrt{10}$$
Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{a^2-bc}{4a^2+4b^2+c^2}+\frac{b^2-ac}{4b^2+4c^2+a^2}+\frac{c^2-ab}{4c^2+4a^2+b^2}\geq 0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-10-2012 - 19:12

[dark templar]

Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $x,y,z$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{a^2-bc}{4a^2+4b^2+c^2}+\frac{b^2-ac}{4b^2+4c^2+a^2}+\frac{c^2-ab}{4c^2+4a^2+b^2}\geq 0$$

Bài này khá chặt đấy
Do $\frac{(2b+c)^2}{4a^2+4b^2+c^2}=1-\frac{4(a^2-bc)}{4a^2+4b^2+c^2}$ nên BĐT có thể viết lại dưới dạng:
$$\frac{(2b+c)^2}{4a^2+4b^2+c^2}+\frac{(2c+a)^2}{4b^2+4c^2+a^2}+\frac{(2a+b)^2}{4c^2+4a^2+b^2} \le 3$$
Đến đây chỉ cần C-S:
$$\frac{(2b+c)^2}{4a^2+4b^2+c^2} \le \frac{2b^2}{a^2+2b^2}+\frac{c^2}{c^2+2a^2}$$

[dark templar]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}\leq \sqrt{10}$$

Chém nốt bài đầu
Với giả thuyết $ab+bc+ca=1$,tồn tại 1 tam giác ABC thỏa $a=\tan{\frac{A}{2}};b=\tan{\frac{B}{2}};c=\tan{\frac{C}{2}}$.
Khi đó BĐT có thể viết lại dưới dạng:
$$\frac{\sin{A}+\sin{B}}{2}+3\sin{\frac{C}{2}} \le \sqrt{10}$$
Dễ dàng có:$\frac{\sin{A}+\sin{B}}{2} \le \cos{\frac{C}{2}}$ nên kết hợp với C-S,ta có:
$$VT \le \cos{\frac{C}{2}}+3\sin{\frac{C}{2}} \le \sqrt{(1^2+3^2)\left[\sin^2{\frac{C}{2}}+\cos^2{\frac{C}{2}} \right]}=\sqrt{10}=VP$$
P/s:@WhiteS:Em có cách giải Đại Số không ?
-------------------------
Dạ em không có ạ.Em cũng lượng giác :-?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-10-2012 - 19:41

[KietLW9]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}\leq \sqrt{10}$$
 

Cách giải đại số

Tìm max của $\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}$. - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học