Đến nội dung

Hình ảnh

$$\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} \leq 8$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
Bài toán. Cho $a;b;c>0$ chứng minh rằng

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+a+c)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

__

Ưu tiên cách giải phù hợp với thi đại học nhé :)
ĐCG !

#2
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

Bài toán. Cho $a;b;c>0$ chứng minh rằng

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+a+c)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

__

Ưu tiên cách giải phù hợp với thi đại học nhé :)

Chuẩn hoá $a+b+c=3$
BĐT viết lại như sau
$\sum \frac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2}\leq 8$
Xét $f(x)=\frac{(x+3)^2}{2x^2+(3-x)^2}$ với $x \in (0;3)$
Ta có : $f(x)\leq \frac{4}{3}(x+1)\Leftrightarrow 3(x-1)^2(4x+3)\geq 0$
Từ đây ta có $ĐPCM$
BĐT phụ tìm = cách xét tiếp tuyến của $f(x)$ tại điểm $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 14-10-2012 - 18:48

Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#3
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết

Chuẩn hoá $a+b+c=3$
BĐT viết lại như sau
$\sum \frac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2}\leq 8$
Xét $f(x)=\frac{(x+3)^2}{2x^2+(3-x)^2}$ với $x \in (0;3)$
Ta có : $f(x)\leq \frac{4}{3}(x+1)\Leftrightarrow 3(a-1)^2(4a+3)\geq 0$
Từ đây ta có $ĐPCM$
BĐT phụ tìm = cách xét tiếp tuyến của $f(x)$ tại điểm $x=1$


Cách này cũng xuất hiện tương đối quen thuộc rồi :). Ý mình là tìm ra một cách phù hợp với các khái niệm trong thi ĐH thôi :D
ĐCG !

#4
yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết

Cách này cũng xuất hiện tương đối quen thuộc rồi :). Ý mình là tìm ra một cách phù hợp với các khái niệm trong thi ĐH thôi :D

Anh học 11 hả :icon6: . Em tưởng hàm số và tiếp tuyến là gần gũi với thi đại học @@
Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#5
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Cách này cũng xuất hiện tương đối quen thuộc rồi :). Ý mình là tìm ra một cách phù hợp với các khái niệm trong thi ĐH thôi :D

Chắc là BĐT Cauchy-Schwart phù hợp với thi ĐH chứ :D
Đặt $x=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c} \implies xyz \ge 8;x,y,z>0$
BĐT tương đương với:
$$\sum_{x,y,z}\frac{(x+2)^2}{x^2+2} \le 8 \iff \sum_{x,y,z}\frac{(x-1)^2}{x^2+2} \ge \frac{1}{2}$$
Theo C-S:
$$\sum_{x,y,z}\frac{(x-1)^2}{x^2+2} \ge \frac{(x+y+z-3)^2}{x^2+y^2+z^2+6}$$
Việc còn lại là chứng minh:
$$2(x+y+z-3)^2 \ge x^2+y^2+z^2+6$$
Cái này nhường cho em đó :D
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#6
T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết

Chắc là BĐT Cauchy-Schwart phù hợp với thi ĐH chứ :D
Đặt $x=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c} \implies xyz \ge 8;x,y,z>0$
............................


Đây chính là cách em muốn nhắc tới :)

@yeutoan Thi đại học hình như không có khái niệm chuẩn hóa thì phải :P
ĐCG !

#7
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Bài toán. Cho $a;b;c>0$ chứng minh rằng

$$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+a+c)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$$

__

Ưu tiên cách giải phù hợp với thi đại học nhé :)

Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh